WisFaq!

Formule bewijzen

Beste

Kunt u me op weg helpen met volgende stelling te bewijzen?

tan(x+y) + tan(x-y) = (sin2x)/(cos²x-sin²y)

Ik moet de verdubbelingsformules toepassen, maar het lukt me echt niet...

Alvast bedankt!

Charlotte
12-9-2017

Antwoord

Hallo Charlotte,

We hebben:

$tan(x+y)=\frac{sin(x+y)}{cos(x+y)}=\frac{sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)}$

evenzo:

$tan(x-y)=\frac{sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)}$.

Nu moeten we deze twee gelijknamig maken. Ik vermeningvuldig teller en noemer van de een met de noemer van de ander. Ik begin eens met de eerste uit te werken.

$tan(x+y)=\frac{(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))}{(cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))}$

Eerst ga ik even de teller uitwerken:

$(sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))=$

$cos(x)sin(x)sin^2(y)+sin^2(x)cos(y)sin(y)+cos^2(x)cos(y)sin(y)+cos(x)sin(x)cos^2(y)=$

$cos(x)sin(x)(sin(y)^2+cos^2(y))+(sin^2(x)+cos^2(x))cos(y)sin(y)=$

$sin(x)cos(x)+sin(y)cos(y)$


Vervolgens de noemer:
$(cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y))(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))=$

$cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)$

En nu een truc - ik tel in het midden iets op en trek hetzelfde weer af:

$cos^2(x)cos^2(y)-sin^2(x)sin^2(y)$

$cos^2(x)cos^2(y)+cos^2(x)sin^2(y)-cos^2(x)sin^2(y)-sin^2(x)sin^2(y) =$

$cos^2(x)(cos^2(y)+sin^2(y))-(cos^2(x)+sin^2(x))sin^2(y)=$

$cos^2(x)-sin^2(y)$

Dus we hebben dat:

$tan(x+y)=\frac{sin(x)cos(x)+sin(y)cos(y)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$.

Op dezelfde manier vinden we:

$tan(x-y)=\frac{sin(x)cos(x)-sin(y)cos(y)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$.

Opgeteld:
$tan(x+y)+tan(x-y)=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos^2(x)-sin^2(y)}$,

en jij mag de laatste stap zetten.

Met vriendelijke groet,

FvL
12-9-2017