WisFaq!

Bewijs vectoren

goedemiddag,

Ik loop vast bij het volgende bewijs: Voor elk drietal van vectoren a, x, and y ∈ Rⁿ: a ∈ Span{x, y} ⇒ Span{x, y} = Span{a, x, y}.

Ik kom er zelf wel uit als het met voorbeelden berekent moet worden, maar in dit geval heb ik geen idee hoe ik het moet aanpakken.

Bas
4-9-2017

Antwoord

Schrijf op wat je weet: $a\in\mathop{\mathrm{Span}}\{x,y\}$ betekent: er zijn getallen $c$ en $d$ zo dat $a=cx+dy$.
Nu bewijzen: $\mathop{\mathrm{Span}}\{x,y\}\subseteq \mathop{\mathrm{Span}}\{a,x,y\}$ en $\mathop{\mathrm{Span}}\{a,x,y\}\subseteq \mathop{\mathrm{Span}}\{x,y\}$.
Het eerste is makkelijk: als $z\in\mathop{\mathrm{Span}}\{x,y\}$ dan $z=\alpha x+\beta y$ en dus ook $z=0a+\alpha x+\beta y$.
Omgekeerd: als $z=\alpha a+\beta x+\gamma y$ dan kun je $a=cx+dy$ invullen en $z$ als lineaire combinatie van $x$ en $y$ schrijven.

kphart
4-9-2017