WisFaq!

Ingesloten cirkel

4 cirkels hebben dezelfde straal r en raken elkaar onderling. Hierdoor wordt er dus een deel ingesloten door de 4 cirkels. In dit deel kan je weer een kleinere cirkel tekenen die ook de 4 cirkels raakt. Maar hoe bepaal je nu de straal van die kleine cirkel? Ik weet dat het een halve r is, maar heb geen idee hoe ik dit aantoon? Is de straal automatisch de helft zodra de cirkel wordt ingesloten door de 4 cirkels?

Alvast bedankt
Tom

Tom
27-8-2017

Antwoord

Hallo Tom,

Ik neem aan dat je de cirkels als volgt bedoelt:



De straal van de grote cirkels is r, de straal van de kleine cirkel is s. Teken nu het blauwe driehoekje met als hoekpunten het middelpunt van één van de grote cirkels, het middelpunt van de kleine cirkel en een raakpunt tussen twee grote cirkels. De schuine zijde van dit rechthoekige driehoekje heeft als lengte r+s, deze is √2 keer zo lang als een korte zijde met lengte r.

Zodoende geldt dus:

r+s = r√2
s = r√2 - r
s = (√2 - 1)r $\approx$ 0,41·r

De kleine cirkel is dus wat kleiner dan je dacht.

GHvD
27-8-2017