WisFaq!

Parameter bepalen zodat parabolen elkaar loodrecht snijden

De opgave is: Bepaal k zodat de parabolen met vergelijking y=x²-4 en g=kx²+(21/4) elkaar loodrecht snijden.

Ik begrijp niet hoe parabolen loodrecht kunnen snijden maar deze oefening hoort bij het deel afgeleiden, dus ik veronderstel dat de afgeleiden van de parabolen loodrecht moeten zij.

Mijn eerste methode was om de rico's te berekenen en en vervolgens het product van de 2 rico's gelijk te stellen aan -1:y'=2x g'=2kx
2·2k= -¹/₄ maar in de oplossing staat dat k=1/36 en ik weet niet hoe ik verder moet.

Ik heb een andere methode geprobeerd waarbij ik het snijpunt van de parabolen zoek en het snijpunt invul in beide afgeleide functies zodat ik daarna de tangens kan gebruiken om k te bepalen zodat de hoek 90° is maar dan zit ik vast met 2 onbekenden.

bartje
22-8-2017

Antwoord

Je kunt eerst de twee functie gelijkstellen en oplossen naar k:

$
\eqalign{
& x^2 - 4 = kx^2 + \frac{{21}}
{4} \cr
& 4x^2 - 16 = 4kx^2 + 21 \cr
& 4x^2 - 4kx^2 = 37 \cr
& 4x^2 (1 - k) = 37 \cr
& 1 - k = \frac{{37}}
{{4x^2 }} \cr
& k = 1 - \frac{{37}}
{{4x^2 }} \cr
& k = \frac{{4x^2 - 37}}
{{4x^2 }} \cr}
$

Nu geldt bij loodrecht snijden (inderdaad):

$
2x \times 2kx = - 1
$

Substitutie van het eerste resultaat in de tweede vergelijking geeft:

$
\eqalign{
& 2x \times 2kx = - 1 \cr
& 2x \times 2 \cdot \frac{{4x^2 - 37}}
{{4x^2 }} \cdot x = - 1 \cr
& \frac{{4x^2 - 37}}
{1} = - 1 \cr
& 4x^2 - 37 = - 1 \cr
& 4x^2 = 36 \cr
& x = - 3 \vee x = 3 \cr
& k = \frac{{4 \cdot 3^2 - 37}}
{{4 \cdot 3^2 }} = - \frac{1}
{{36}} \cr
& of \cr
& k = \frac{{4 \cdot \left( { - 3} \right)^2 - 37}}
{{4 \cdot \left( { - 3} \right)^2 }} = - \frac{1}
{{36}} \cr}
$

Dus je zat aardig goed! Ik kom wel uit op $k=
- \frac{1}
{{36}}
$.

Je kunt ook nog proberen om bij de eerste vergelijking $x$ uit te drukken in $k$ en dat te substitueren in de tweede uitdrukking. Dat is ook leuk...

PS
Pas op!
Je kunt niet zo maar van $2x \cdot 2kx = - 1$ naar $2 \cdot 2k = - \frac{1}{4}$ springen!

WvR
22-8-2017