WisFaq!

Meetkundige plaats snijpunt van twee cirkels

Gegeven is een cirkel (C) en een vast punt O. Men trekt door O een rechte r die (C) snijdt in A resp. A'. De twee cirkels die door O gaan en raken aan (C) in A resp. in A', hebben een tweede snijpunt P. Welke is de baan van P als de rechte r rond O draait?

Vooreerst heb ik gebruik gemaakt van het pakket GeoGebra om dit in een deftige figuur weer te geven (zie ook bijlage).



Ik zag meteen de rechte hoek MPO op het vaste lijnstuk MO.
Wegens Pythagoras geldt dan MO²= MP² + OP² .
Volgens de theorie ligt het punt P dan op een cirkel, die het midden van MO, nl. het punt T, tot middelpunt heeft.
Als de rechte r binnen de hoek(BOD), inclusief grenzen, zijn er snijpunten met de cirkel (C). Dat betekent dan ook dat P gelegen is op de cirkelboog (BOD). Het stukje in stippellijn, nl. de cirkelboog (BMD) komt dus niet in aanmerking.

Het enige waar ik nu niet in slaag is aantonen dat de hoek (MPO) effectief een rechte hoek is. Kan u mij hierbij helpen a.u.b. Hartelijk dank.

Jan Heyndrikx
9-8-2017

Antwoord

Hallo Jan,

Ik denk dat je het bewijs als volgt kunt leveren:

• Merk op dat $\Delta AMA'\sim \Delta AS_1O$, omdat $A$ centrum van vermenigvuldiging/homothetie is van $(C)$ en $(K_1)$. Dus vanuit $A$ kun je $(C)$ vergroten om $(K_1)$ te krijgen en dan gaat middelpunt $M$ over in middelupt $S_1$ en $A'$ over in $O$. In het bijzonder betekent dit dat $MA$ en $S_1O$ evenwijdig zijn.
  
• Op vergelijkbare wijze kunnen we $A'$ als centrum van vermenigvuldiging nemen van $(C)$ en $(K_2)$. Dat levert $\Delta A'MA \sim \Delta A'S_2O$. En daaruit zien we dat $AM$ en $OS_2$ evenwijdig zijn.
  
• De twee paren evenwijdige lijnen zorgen ervoor dat $MS_1OS_2$ een parallellogram is.
  
• Omdat $OP$ een gezamenlijke koorde is van de twee raakcirkels, is de lijn $S_1S_2$ middelloodlijn van $OP$. $S_1S_2$ is natuurlijk ook een diagonaal van $MS_1OS_2$.
  
• Deze combinatie maakt dat we weten dat de lijn door $P$ evenwijdig aan $S_1S_2$, en dus loodrecht op $OP$, door $M$ gaat. En dat betekent dat $\angle MPO$ recht is.
  

Met vriendelijke groet,

FvL
9-8-2017