WisFaq!

Limiet naar oneindig en -oneindig

Ik ben bezig met een hoofdstuk over standardlimieten.
Hierin is gegeven dat x$\to\infty$ x^p / a^x = 0

Nu zijn er opgaves gegeven in deze vorm alleen natuurlijk net iets anders. Ik wil graag weten wat de invloed is van
x $\to$ -$\infty$
en van variaties in de functie zelf zoals:
x^p / a^-x
-x^p / a^-x
-x^p / a^x

Vaak blijkt het gewoon 0 en soms -$\infty$ en er wordt weleens bij de uitwerkingen gezegd y = -x waarvan ik niet snap wat ze bedoelen.

Een paar opgaven:
lim x$\to$-$\infty$ 2^x/x²⁰⁰ (hierbij zeggen ze bij de antwoorden y = -x)

lim x$\to$-$\infty$ 3^-x/x⁵

lim x$\to$-$\infty$ 3^2x/2^3x (deze is in iets andere vorm maar ik zou hier denken dat de teller groter is dan de noemer en dus naar $\infty$ zou naderen maar blijkt -$\infty$)

Kevin
4-8-2017

Antwoord

Ik zou je in ieder geval aanraden met een docent te gaan praten; die kan wat sneller op je vragen en antwoorden reageren dan wij.
Je gegeven limiet is niet volledig:
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{a^x}=0 \text{ als } a $>$ 1
$$
en
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{a^x}=\infty \text{ als } 1 $>$ a $>$ 0
$$
dit is ongeacht de waarde van $p$, als $a=1$ dan is de limiet gelijk aan $\infty$ als $p $>$ 0$, $1$ als $p=0$ en $0$ als $p $<$ 0$.
Je kunt bijna alles terugbrengen tot deze situatie van $a^{-x}$ maak je $(1/a)^x$, waarbij je in de gaten moet houden dat $a $>$ 1$ dan en slechts dan als $1/a $<$ 1 $.
Verder is de substitutie $y=-x$ handig om de situatie $x\to -\infty$ terug te brengen tot $y\to\infty$.
Wat je voorbeelden betreft: de eerste wordt
$$
\lim_{y\to\infty} \frac{2^y}{(-y)^{200}} = \lim_{y\to\infty}\frac{y^{-200}}{\left(\frac12\right)^y}
$$
Iets dergelijks gebeurt met de tweede, alleen opletten: $(-y)^5=-y^5$.
De laatste is ook van de gegeven vorm, met $p=0$. Je kunt hem schrijven als
$$
\lim_{x\to-\infty}\frac{9^x}{8^x}=\lim_{y\to\infty}\frac{8^y}{9^y}=\lim_{y\to\infty}\left(\frac89\right)^y
$$
(en die limiet is gelijk aan $0$)

kphart
4-8-2017