WisFaq!

Omwentelingslichamen

Beste,
Wanneer je een eenbladige hyperboloïde wil krijgen, door bijvoorbeeld te wentelen om de x-as, met z-as is de grote as. Blijft de x-coördinaat gelijk, namelijk x = b·sinh(t). De y en z-coördinaat worden respectievelijk y = a · cosh(t) · cos(v) en z = a·cosh(t)·sin(v). Ik begrijp niet goed waarom de cos(v) bij de y-waarde hoort en de sin(v) bij de z-waarde, bovendien vind ik nergens uitleg in de cursus waarvan de a·cosh(t) komt bij de y-waarde, ik vermoed dat is omdat we roteren volgens de x-as?
Alvast bedankt.

Elodie
28-7-2017

Antwoord

De $\cos v$ en de $\sin v$ zijn er omdat om de $x$-as gedraaid wordt: door $v$ te variëren, bij vaste $t$, maak je een cirkel om $(b\sinh t,0,0)$ met straal $a\cosh t$ (in een vlak loodrecht op de $x$-as).
De $\sinh t$ en $\cosh t$ zouden toch wel in je boek moeten staan bij parametriseringen van hyperbolen. Door middel van $(\sinh t,\cosh t)$ parametriseer je een tak van de hyperbool met vergelijking $-x^2+y^2=1$. Door middel van $(b\sinh t,a\cosh t)$ krijgen we $-\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$; door het roteren krijgen we de hyperboloïde met vergelijking
$$
-\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1
$$

kphart
28-7-2017