WisFaq!

Ongelijkheid met machten en absolute waarde

Ik begrijp niet hoe ik de volgende soort opgaves moet aanpakken. Ik heb wat gegoogled maar kom altijd uit op ongelijkheden van de vorm ax+bx+c waarbij ze het tussen haakjes zetten en twee punten berekenen

x⁴ $\ge$ |x|³
x⁴ $\le$ |³√x|

en een iets andere
|2x+3| $\ge$ |4x|

Kevin
21-7-2017

Antwoord

Hallo, Kevin!

Eentje tegelijk.
De eerste ongelijkheid is dus x⁴ $\ge$ |x|³.
Beschouw twee gevallen: wat tussen de absolute-waarde-strepen staat, in dit geval x, is groter of gelijk aan 0, of het is kleiner dan 0.

Geval 1) x $\ge$ 0, dus |x| = x.
De ongelijkheid wordt dan x⁴ $\ge$ x³,
ofwel x⁴ - x³ $\ge$ 0,
ofwel (polynoom ontbinden in factoren)
x³(x-1) $\ge$ 0,
ofwel (onderscheid voor elk nulpunt der factoren of x op de getallenlijn rechts of links ervan ligt en kijk welk teken de factor dan heeft)
x $\le$ 0 of x $\ge$ 1
ofwel (in geval 1) is x $\ge$ 0)
x = 0 of x $\ge$ 1.

Geval 2) x $<$ 0, dus |x| = -x.
De ongelijkheid wordt dan x⁴ $\ge$ (-x)³,
ofwel x⁴ $\ge$ -x³,
ofwel x⁴ + x³ $\ge$ 0,
ofwel (polynoom ontbinden in factoren)
x³(x+1) $\ge$ 0,
ofwel (onderscheid voor elk nulpunt der factoren of x op de getallenlijn rechts of links ervan ligt en kijk welk teken de factor dan heeft)
x $\le$ -1 of x $\ge$ 0
ofwel (in geval 1) is x $<$ 0)
x $\le$ -1.

Neem nu de oplossingen voor beide gevallen samen, dan vind je
x $\le$ -1 of x = 0 of x $\ge$ 1.

hr
21-7-2017