WisFaq!

Raaklijn bepalen

Onderstaande vraag komt uit de toelatingsproef geneeskunde juli 2016:

"Gegeven is de functie f met als voorschrift f(x) = x³ - 11x² - 25x - 13. De rechte met vergelijking y = px + q raakt aan de grafiek van f in het punt A(a; f(a)) en snijdt de grafiek van f in het punt B(13; 0). Als A en B verschillende punten zijn, dan is p + q gelijk aan."

• [-2352]
• [-1]
• [0]
• [1]

Ik vraag me af hoe je deze vraag zo efficiënt mogelijk oplost. Op de toelatingsproef geneeskunde hebben we immers niet veel tijd.

Wat ik al geprobeerd heb is:
Het punt B is een nulpunt voor beide functies, daarmee vond ik dat 13p + q = 0. Dit is 1 vergelijking met 2 onbekenden. Ik moet dus nog een vergelijking vinden. Omdat px + q een raaklijn is door het punt A, heb ik px + q proberen gelijk te stellen aan f'(a) · (x - a) + f(a). Ik kwam echter tot lange berekeningen en heb nu 3 onbekenden en maar 2 vergelijkingen.

Kan iemand me leren hoe je zoiets efficiënt oplost?
Alvast bedankt.

Ibrahim Khlosi
6-7-2017

Antwoord

Je kunt er een probleem met één onbekende van maken: schrijf de raaklijn in $a$ op, zoals je gedaan hebt.
$$
y=f(a)+f'(a)(x-a)
$$
Die lijn gaat door $(13,0)$, dus volgt
$$
0=f(a)+f'(a)(13-a)
$$
Door nu $f(a)$ en $f'(a)$ (netjes) uit te schrijven krijg je een vergelijking voor $a$ en omdat $f(13)=0$ kun je $a-13$ wegdelen uit $f(a)$ en buiten de haakjes halen zodat je een tweedegraadsvergelijking voor $a$ overhoudt.

kphart
6-7-2017