WisFaq!

Homomorfismen

Beste,

Ik kan nergens voorbeelden vinden over hoe je een probleem over homomorfismen bepalen, uitrekent..
Het gaat over vragen zoals:
#Hom(D14, D5)
#Hom(C7, S8)
#Hom(C4,C4)
#Hom(S5,C9)
enzovoort...
Ik heb absoluut geen idee hoe ik dit moet aanpakken .. Het aantal elementen uitrekenen per groep? De orde bepalen van een groep? Kunt u concrete voorbeelden geven?

Ceren
4-7-2017

Antwoord

Een homomorfisme van een cyklische groep naar een andere groep ligt vast zodra je het beeld van een voorbrenger hebt.
Dus bij $\mathrm{Hom}(C_7,S_8)$ bijvoorbeeld bekijk je de mogelijke waarden van $\phi(1)$. Er moet gelden dat $\phi(1)^7=e$ in de beeldgroep, en omdat $7$ een priemgetal is kan $\phi(1)$ alleen orde $1$ of $7$ hebben. In het eerste geval geldt $\phi(1)=e$ en in het tweede geval moet $\phi(1)$ een $7$-cykel zijn (dat zijn de enige elementen van $S_8$ van orde $7$).
Wat hierboven gebruikt is is de algemene opmerking dat de orde van $\phi(a)$ een deler van de orde van $a$ zelf is.
Dat kun je bij $\mathrm{Hom}(S_5,C_9)$ gebruiken om in te zien dat er maar één homomorfisme is: immers als $\sigma$ een $2$-cykel is dan moet $\phi(\sigma)^2=e$, maar omdat we in $C_9$ zitten ook $\phi(\sigma)^9=e$, dus de orde is een deler van $2$ en $9$ en dus gelijk aan $1$. Voor elke verwisseling geldt dus $\phi(\sigma)=e$, maar dan geldt $\phi(\tau)=e$ voor elke permutatie.
Bij $\mathrm{Hom}(D_{14},D_5)$ kun je apart bekijken wat de ordes van de beelden van de spiegeling en de rotatie kunnen zijn.

kphart
4-7-2017