WisFaq!

Parametervergelijking

De parameter a∈R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergelijking 4x² −15x + 4a³ = 0 gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing. In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a?

$<$A$>$ [0,5]
$<$B$>$ [−1,4]
$<$C$>$ [−2,3]
$<$D$>$ [−3,2]

Ik heb geprobeerd om de buitenste waarden van de intervallen in te vullen om vervolgens mijn oplossingen te vergelijken, maar deze werkmethode pakt veel te veel tijd en heb het juist antwoord toch niet kunnen vinden. Weet u hoe je deze vraag op een efficiënte manier kunt oplossen?

Dank u

Yasmien
27-6-2017

Antwoord

De eindpunten van de intervallen hebben niet noodzakelijk de gewenste eigenschap. (Dat heb je waarschijnlijk al ontdekt.) Het gaat er om het interval aan te wijzen waar alle mogelijka $a$'s in zitten.
Je kunt die $a$'s bepalen door het linkerlid te ontbinden: $4(x-p)(x-p^2)$ Gebruik het gegeven: er zijn twee oplossingen en een is het kwadraat van de ander). Door uitvermenigvuldigen vind je dat $4x^2-15x+4a^3=4x^2-4(p+p^2)x+4p^3$. Dat impliceert dat $p^3=a^3$ en dus $p=a$. Gevolg: $4(a+a^2)=15$; nu kun je de $a$'s bepalen.

kphart
28-6-2017