WisFaq!

Re: Twee manieren voor het oplossen van cosinusvergelijking

Dus als je bijvoorbeeld de volgende vergelijking hebt:
cos(2x + ¹/₄$\pi$) = cos (³/₄$\pi$)
Kan je deze dus op twee manieren oplossen?
Dus:
2x + ¹/₄$\pi$ = ³/₄$\pi$ + k x 2$\pi$
x = ¹/₄
2x + ¹/₄$\pi$ = -³/₄$\pi$ + k x 2$\pi$
x = -¹/₂$\pi$ + k x 2$\pi$
En de tweede manier van oplossen:
2x + ¹/₄$\pi$ = ³/₄$\pi$ + k x 2$\pi$
x = ¹/₄
2x + ¹/₄$\pi$ = 2$\pi$ - ³/₄$\pi$ + k x 2$\pi$
x = ¹/₂$\pi$ + k x 2$\pi$

Nivard Jansen
25-6-2017

Antwoord

Je vergeet wel 't een en 't ander. Je raakt ergens je $\pi$ kwijt en als je deelt door $2$ dan moet je alle termen delen door $2$, dus ook de term $k·2\pi$. Zoek de verschillen!

1e manier:

$
\eqalign{
& \cos \left( {2x + \frac{1}
{4}\pi } \right) = \cos \left( {\frac{3}
{4}\pi } \right) \cr
& 2x + \frac{1}
{4}\pi = \frac{3}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee 2x + \frac{1}
{4}\pi = - \frac{3}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& 2x = \frac{1}
{2}\pi + k \cdot 2\pi \vee 2x = - \pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = \frac{1}
{4}\pi + k \cdot \pi \vee x = - \frac{1}
{2}\pi + k \cdot \pi \cr}
$

2e manier:

$
\eqalign{
& \cos \left( {2x + \frac{1}
{4}\pi } \right) = \cos \left( {\frac{3}
{4}\pi } \right) \cr
& 2x + \frac{1}
{4}\pi = \frac{3}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee 2x + \frac{1}
{4}\pi = 2\pi - \frac{3}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& 2x + \frac{1}
{4}\pi = \frac{3}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee 2x + \frac{1}
{4}\pi = 1\frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& 2x = \frac{1}
{2}\pi + k \cdot 2\pi \vee 2x = \pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = \frac{1}
{4}\pi + k \cdot \pi \vee x = \frac{1}
{2}\pi + k \cdot \pi \cr}
$

Waarbij $
x = - \frac{1}
{2}\pi + k \cdot \pi
$ dezelfde verzameling oplossingen is als $
x = \frac{1}
{2}\pi + k \cdot \pi
$ met weliswaar andere waarden voor $k$.

Helpt dat?

WvR
25-6-2017