WisFaq!

Hoge macht modulo uitrekenen

De vraag is om 2^20142013 modulus 41 uit te rekenen, en er is gegeven dat 2¹⁰ congruent is met -1 modulus 41.

Via rekenregels en de stelling van Euler heb ik dit kunnen reduceren tot (2¹⁴ mod 41)²⁰¹³ mod 41.

Vervolgens heb ik 2¹⁴ geschreven als 2¹⁰·24 en kom dan uit op -1·(16¹³) mod 41, door opnieuw Euler te gebruiken de hint. Hier gaat al iets fout want met controle op de rekenmachine komt dit al niet op het goede antwoord uit. Het eindantwoord is 16.

Alvast bedankt voor het antwoord!

oscar
24-6-2017

Antwoord

Lees de waarschuwing op het tentamen: het gaat om $2^{(2014^{2013})}$, niet om $(2^{2014})^{2013}$. Het lijkt er namelijk op dat je die laatste aan het bepalen bent, en die gaat makkelijk: $2014\cdot2013\equiv 182\equiv2 \pmod{20}$, dus krijgen we $2^2=4$ als antwoord. En hier heb je `Euler' niet nodig.
Als je gebruikt dat $2^{10}\equiv-1 \pmod{41}$, en dus $2^{20}\equiv1 \pmod{41}$ zie je dat je $2014^{2013}$ of $14^{2013}$ modulo $20$ moet bepalen. En daar kun je `Euler' goed bij gebruiken.

Zie Tentamen Algebra 1, 26-06-2014, Leiden [http://pub.math.leidenuniv.nl/~strengtc/algebra1_tentamens/algebra1-2014-06-26.pdf]

kphart
25-6-2017