WisFaq!

Verloop van functies

Ik heb 3 oefeningen waar ik niet uit geraak.
De opdracht is: onderzoek het verloop van de functies (nulp., domein, snypunt y-as enz...)
f(x)= 2e^2x , f(x)=ln(x²+4) en een vraagstuk: Wat zijn de afmetingen van een rechthoek met een zo groot mogelijke opp. die men in een cirkel met 25 cm straal kan tekenen zodat de vier hoekpunten op de cirkel gelegen zijn?

Ik hoop dat jullie me op weg kunnen helpen.
Groetjes

Vero
12-3-2003

Antwoord

Hoi,

1) f(x)= 2e^2x
Domein: (elk punt is reëel)
Nulpunten: geen = geen snijpunt met x-as
concreet:er is geen enkele x-waarde waarvoor f(x)=0
Snijpunt met y-as: x = 0 = 2·e⁰= 1
Asymptoten:
V.A.:geen (aangezien het domein = )
H.A.: lim f(x) = +¥ (voor x gaande naar + ¥)
Maar: lim f(x) = 2·0 (voor x gaande naar -¥)
Dus: H.A. ®y = 0
S.A.: geen (H.A.)
f'(x) = 4·e^2x
¹ 0
f''(x) = 8·e^2x
¹ 0
Deze functie heeft dus geen extrema of buigpunten

2) f(x)= ln(x²+4)
Domein: want x²+4 is steeds groter dan nul zodat ln(x²+4) steeds een beeld heeft.
Nulpunten: x²+4 = 1 want ln(1)=0
x²=-3 Kan niet! = geen nulpunten (geen snijpunten met x-as)
Snijpunt met y-as: x=0 y=ln(4) = y 1,386
Asymptoten
V.A.: geen
H.A.: lim f(x) voor x gaande naar ±¥ is +¥
S.A.: y=ax+b en a=limf(x)/x = a=0
geen S.A.
f'(x)= 2x/(x²+4)
=0 Û x=0
f''(x)= [2·(x²+4) - 2x(2x)]/(x²+4)²
= 2x²-4x²+8 /(x²+4)²
=0 Û8=2x²
x=2 en x=-2
We bekomen dus een extremum in 0 en een buigpunt in 2 en -2

3) De rechthoek met de grootste oppervlakte zal steeds een vierkant zijn. Leg de punten dus in de cirkel volgens een vierkant. De diagonaal van dat vierkant zal dus gelijk zijn aan 2 keer de straal nl. 50
Je hebt nu een gelijkbenige, rechthoekige driehoek met schuine zijde 50. Via Pythagoras vind je voor x²=25
De oppervlakte is dus 25

Koen
13-3-2003