WisFaq!

Re: Re: Opstellen van formules

Gegeven is de functie f(x) = (x² - 16)(x²+10)

De lijnen k en m hebben richtingscoëfficiënt -8 en raken de grafiek van f. Stel een formule op van k en van m.

Mijn aanpak:
Productregel $\to$ (2x) · (x² + 10) + (x² - 16) · (2x)
$\to$ 2x³ + 20x + 2x³ - 32x
$\to$ 2x³ + 2x³ -12x = 4x³ - 12x

Afgeleide gelijkstellen aan 0 $\to$
4x³ - 12x = -8
4x³ -12x -8 = 0

Abc formule
D= (-12)² - 4 · 4 · -8 = 272
X = (-12 + wortel 272) / 8 v X = (-12 - wortel 272) / 8
X = 0.5615... v X = -3.5615...

X invullen in f(x) met ANS $\to$
(-0.5615.. ² - 16)(-0.5615..² + 10) = - 161.7926...

(-3.5615.. ² -16)(-3.5615 ² + 10) = 77.0085...

K -8 · -0.5615.. + b = - 161.7926..
b = -157.3001866
K : y = -8x - 157

M -8 · -3.5615.. + b = 77.0085..
b = 48.51608..
M: y = -8x + 49

Ik kom niet helemaal op hetzelfde uit.

Mark
17-6-2017

Antwoord

Hallo Mark,

Je vindt als afgeleide:
f'(x) = 4x³-12x

Echter, om een raaklijn te vinden, moet je deze niet gelijkstellen aan 0. In plaats daarvan moet je de afgeleide gelijkstellen aan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Immers: in het raakpunt moeten de helling van je functie en de helling van de raaklijn gelijk zijn. Zo kom je aan de vergelijking:

4x³-12x = -8

Je herleidt deze vergelijking op nul, maar hierbij maak je een vergissing. Om het rechter lid nul te maken, moet je 8 optellen, dus links ook 8 optellen. Je krijgt dan:

4x³-12x +8 = 0

(En niet ...... -8 = 0!)

Maar: dit heeft niet zoveel zin, want dit is een derdegraads-vergelijking, geen kwadratische vergelijking. Je kunt dus géén abc-formule toepassen! Er zijn wel methodes om zo'n derdegraads-vergelijking op te lossen, maar die heb jij niet geleerd. Daarom moet je dit met je GR doen.
Op nul herleiden is dan niet nodig. Je wilt oplossen:

4x³-12x = -8

Dan voer je in:
y₁ = 4x³-12x
y₂ = -8

Met de optie Intresect vind je dan de waarde(n) van x waarvoor deze vergelijking klopt. De betekenis van deze oplossing(en) is:

Je vindt de waarde(n) van x waarbij de helling van de functie gelijk is aan -8. Op die punten heeft de raaklijn aan de grafiek dus ook de helling -8, precies wat de bedoeling was.

Is het zo duidelijker geworden?

GHvD
17-6-2017