WisFaq!

Bepalen van zuiver imaginair nulpunt

Gegeven: z³+2(1-i)z²+(1+m²-4i)z-2i(1+m²)=0 (met z element complexe getallen en parameter m element van de reële getallen)

(1) Toon aan dat deze vergelijking een zuiver complex nulpunt heeft en bereken dit nulpunt.
Ik heb verondersteld dat het zuiver imaginair nulpunt gelijk is aan ai (i²=-1 en a element van de reële getallen). Daarna ingevuld en ik heb gesteld dat het reële deel van de vergelijking nul moest zijn (a³-a=0). ( ik heb nog nooit zo'n vraag opgelost maar ik heb me gebaseerd op het bepalen van een reëel nulpunt bij complexe vergelijkingen waar het reële en imaginaire deel gelijk moeten zijn aan 0) Daaruit volgt dat a=2 en a=0. Ik heb a=0 geschrapt omdat ik anders geen imaginair getal uitkom. Ik stel dus dat het zuiver imaginair nulpunt: a=2i. Klopt dit?

(2) Bepaal de andere oplossingen a.d.h.v reële parameter m. Dit zou ik dan oplossen met behulp van Horner.

Alvast bedankt!

Xavier
14-6-2017

Antwoord

Hallo Xavier,

Je eerste stap is goed. Ik zie alleen niet helemaal hoe je aan $a^3-a=0$ bent gekomen, maar misschien is het ook wel een typfout. Ik kom op $-2a^2+4a=0$ en dat levert zoals je zegt $a=0 \vee a=2$.
Maar dan ben je er nog niet helemaal. Je moet dan nog wel even door substitutie controleren dat $z=0i$ en $z=2i$ ook echt oplossingen van de vergelijking opleveren (immers, om de vergelijking opgelost te krijgen moet zowel het imaginaire als het reële deel nul worden!). Dat doet $z=0i$ (omdat $m$ reëel is) niet, $z=2i$ wel.

Nu stap (2), ook daar heb je het goede idee. Ga door.

Succes.

Met vriendelijke groet,

FvL
14-6-2017