WisFaq!

Limiet van functie f_k

Zij f_k(x)=¹/_ksin(kx) voor k$\in\mathbf{N}$. Bewijs dat limiet f_k=0 als k$\to\infty$ ten opzichte van de metriek d, d(f,g):=||f-g||:=sup{|f(x)| x$\in$ $\mathbf{R}$}.

Ik zie dat de limiet 0 is als k$\to\infty$, maar ik weet niet zo goed hoe ik dit zou moeten bewijzen.

Dirk
9-6-2017

Antwoord

Hallo, Dirk.

Je bedoelt sup{|f(x)-g(x)|,x$\in\mathbf{R}$}.

Je moet bewijzen dat bij iedere $\epsilon$ $>$ 0 er een A $\in$ $\mathbf{N}$ is zodat d(f_k,o) $<$ $\epsilon$ als k $>$ A, waarbij o de nulfunctie is.
Dus dat bij iedere $\epsilon$ $>$ 0 er een A $\in$ $\mathbf{N}$ is zodat sup{|f_k(x)-0)|,x$\in\mathbf{R}$} $<$ $\epsilon$ als k $>$ A.
Dus dat bij iedere $\epsilon$ $>$ 0 er een A $\in$ $\mathbf{N}$ is zodat sup{|sin(kx)/k)|,x$\in\mathbf{R}$} $<$ $\epsilon$ als k $>$ A.
Kun je het nu zelf afmaken? Dat supremum kun je wel vinden.

hr
9-6-2017