WisFaq!

De arbelos

Hallo

voor een werkstuk over de arbelos moeten we een 20-tal bewijzen oplossen. Maar bij het volgende bewijs loopt alles vast:

gegeven: arbelos: grote cirkel op AB
kleine cirkels op AC en CB
loodrechte op AB in C snijdt de grote
cirkel (de cirkel op AB dus) in D.
snijpunt van AD met cirkel op AC: X
snijpunt van BD met cirkel op BC: Y

Te Bewijzen: XY raakt aan de cirkels op AC en CB

Bewijs: ???????? Kunnen jullie helpen? Wat ik
hieromtrent al wel bewezen heb is:
-CXDY zijn concyclisch
-CXDY is een rechthoek
-CD en XY snijden elkaar middendoor.

THX,
Inge

Inge
12-3-2003

Antwoord

Beste Inge,

Laat M het midden/snijpunt van CD en XY zijn. Dan is MC een raaklijn aan beide cirkels op AC en CB.

----

Je moet je nu de volgende algemeenheden realizeren:

Vanuit een punt P buiten een cirkel C met middelpunt O zijn twee raaklijnen aan C. De afstanden van P tot de twee raakpunten R_1,2 zijn gelijk - R_1,2 zijn namelijk gespiegeld in PO.
Er zijn hoogstens twee punten op een gegeven afstand van een punt P op een cirkel C - je snijdt immers twee cirkels.

----

Okay, we hadden dat MC een raaklijn is aan de cirkel op AC. Ook weten we (had je reeds ontdekt) dat X op deze cirkel ligt en dat MC en MX even lang zijn. Dus is MX ook een raaklijn aan deze cirkel!

Zie Arbelos [http://www.pandd.demon.nl/arbelos.htm]

FvL
13-3-2003