WisFaq!

Oplossen van een vergelijking met rationele exponent

Beste,

Voor mijn thesis botste ik op het volgend probleem:

x^1.19 + x = 1, dit oplossen naar 'x'

Zou iemand mij kunnen helpen/uitleggen hoe dit zonder software kan opgelost worden?

FYI: Deze vergelijking is simplistisch voorgesteld van wat de werkelijke vergelijking is. De uiteindelijke vergelijking bevat meerdere parameters en variabelen die ik hier gelijk stel aan 1. Dit omwille van het feit dat het probleem uitsluitend bij het oplossen van een vergelijking - dat een rationele exponent bevat - ligt.

Alvast bedankt voor de moeite!

Emiel
29-5-2017

Antwoord

Je kunt $y=\sqrt[100]x$ substitueren om er de vergelijking $y^{119}+y^{100}=1$ van te maken. Echter, die vergelijking heeft geen makkelijke oplossing: een programma als Maple kan er niets mee.

Bij de oorspronkelijke vergelijking grijpt Maple naar een numeriek oplossing.

Je kunt wel iets maken dat op een formule lijkt maar daar zit een oneindig proces achter. Herschrijf de vergelijking tot $x(1+x^{\frac{19}{100}})=1$ en noem $\frac{19}{100}$ even $a$. Dan krijg je
$$
x=\frac1{1+x^a}
$$
voor de $x$ in $x^a$ vul je weer $1/(1+x^a)$ in:
$$
x=\frac1{\displaystyle1+\left(\frac1{1+x^a}\right)^a} = \frac1{\displaystyle1+\frac1{(1+x^a)^a}}
$$
en dat kun je herhalen:
$$
x=\frac1{\displaystyle1+\left(\frac1{\displaystyle1+\left(\frac1{1+x^a}\right)^a}\right)^a} = \frac1{\displaystyle1+\frac1{\left(\displaystyle1+\frac1{(1+x^a)^a}\right)^a}}
$$
enzovoort; je krijgt dan iets dat op een kettingbreuk lijkt. Maar of die formule veel zegt weet ik niet. Je kunt een beginstuk van zo'n uitdrukking gebruiken als benadering van de oplossing maar het lijkt me wat efficiënter om dat meteen numeriek te doen.

Je kunt bovenstaande methode gebruiken om een benaderingsformule voor de oplossing van de vergelijking $x^{1+a}+x=b$ op te stellen; daar is wellicht iets zinnigs uit te halen, zoals hoe sterk de oplossing verandert als de $b$ veranderdt en dergelijke.

kphart
29-5-2017