WisFaq!

Moeilijk bewijs

Hallo beste beantwoorder,

We hebben het volgende vraagstuk gekregen, maar geen flauw idee hoe dit op te lossen. Is er iemand die ons op weg kan helpen?

Op een lijn zijn elf verschillende punten gegeven:
P₁,P₂…,P₁₁. Voor elk tweetal punten geldt: afstand P_p P_q≤1.
Bewijs dat de som van alle (55) afstanden P_p P_q ,1 ≤i≤j≤11 kleiner is dan 30.

Bedankt

Tom
16-5-2017

Antwoord

Nummer de punten, van links naar rechts: $P_1$, ..., $P_{11}$.
Splits je totale som in deelsommen
eerst $\sum_{i=1}^{10} P_{i+1}-P_i$ (alle paren die $1$ verschillen in hun index); die som is gelijk aan $P_{11}-P_1$ en dus kleiner dan $1$.

Dan de paren waarvan die $2$ verschillen in hun index) dat worden twee sommen: $(P_3-P_1)+(P_5-P_3)+(P_7-P_5)+(P_9-P_7)+(P_{11}-P_9)$ en $(P_4-P_2)+(P_6-P_4)+(P_8-P_6)+(P_{10}-P_8)$ die twee leveren $P_{11}-P_1$ en $P_{10}-P_2$ op en die zijn kleiner dan $1$.
Ga zo verder.

kphart
16-5-2017