WisFaq!

Differentiaalvergelijking en onbepaalde coëfficiënten

Goede avond ,
Bij mijn studie DV's vind ik nu een methode die moet toegepast worden op enkele gegeven DV's
Het zijn :
a) (D²-1)y=e^x.sinx
b)(D²+1)y=-2.sinx+4x.cosx
c)( D³-D²-4D+4)y=2x²-4x-1+(2x²+5x+1).e^2x
Antwoorden zijn:
Ik vind vrij eenvoudig de homogene oplossing voor
a)y= C(1)e^x+C(2)e-^x
b)y=C(i)cosx+c(2)sinx
c)y= C(1)e^x+C(2)e^2x+C(3)e-²x

De particuliere integralen (PI) zouden dan zijn:(antwoordenbundel hopelijk correct ?)
a) -e^x(sin2x+cos2x)/8
b) 2xcosx+x²sinx
c) 1/2x²+(x²e^2x)/6
Mijn probleem is dat ik voor sommige van een oefeningenbundel een aantal heb die ik kon vinden en verder oplossen Het gaat om een voorstel te maken met onbekenden A,B C,E,F,.........voor onbepaalde coëfficënten.
Dus een vergelijking die men een aantal malen moet afleiden ,naargelang de gegeven DV en deze afleidingen invullen in de gegeven DV. En dan vergelijken met het tweede lid van de DV.
Als iemand mij kan helpen met zo een voorstel voor deze drie oefeningen, dan kan ik verder .
VOORBEELD
(D²+2D+8)y= x²+sinx
Complementaire vergelijking is C(1)e^-x.sinx+C(2)e^-x.cosx want wortels zijn complex -1+i ,en -1-i
Ik stelde een vergelijking, op en die werd afgeleid ,tweemaal zelfs.(zie opgave).
PI=:
y(1)= Ax²+Bx+C +Esinx+Fcosx
y'1)= 2Ax+B+Ecosx-Fsinx
y'(1)= 2A+Esinx-Fcosx
Invoeren bij gegeven DV geeft:
y'+2y'+2y=2A-Esinx-Fcosx +2Ax+B+Ecosx-Fsinx+2Ax²+2Bx+2C +2Esinx+2Fcosx= x²+sinx²
Vergelijken van leden in beide delen van de vergelijkingen leidt tot:
A=1/2;B=-1 ;C=-1/2;E=1/5; F= -2/5
y=
(D werd weggelaten om geen verwarring te scheppen met
D = dy/dx)
Oplossing is dan :(som CF + PI)
y= C(1)e^x+C(2)e^-x +1/2(x-1)²+1/5(sinx-2cosx
Ik weet dat men moet opletten bij zulke voorstellen omdat wortels uit het eerste lid ook kunnen voorkomen in het tweede lid en dat kan invloed op de graad der vergelijking hebben enz.....
Vriendelijke groeten en alvast bedankt voor jullie medewerking.

Rik Lemmens
1-5-2017

Antwoord

1. De gegeven particuliere oplossingen kun je controleren door in te vullen; de eerste oplossing lijkt me niet correct wegens de $2x$ in de sinus en cosinus.

2. De algemene strategie is bij een gegeven rechterlid een lineaire combinatie van de afgeleiden van dat rechterlid te proberen; bij functies als $x^2$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, en producten daarvan heb je telkens maar eindig veel verschillende afgeleiden en daar kun je dan goed gebruik van maken.

3. Die strategie mislukt als het rechterlid een oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking is: bij $y''-y=e^x$ helpt $Ae^x$ proberen niet want invullen leidt tot $0=e^x$. Dat leidt tot een uitbreiding van de strategie: als $f(x)$ een oplossing van de homogene is probeer dan $Axf(x)$ (vermenigvuldigen met $x$ dus); in het bovenstaande probleempje leidt invullen dan tot $(Axe^x+2Ae^x)-Axe^x=e^x$, en dus $2Ae^x=e^x$.

4. Bij hogere-orde problemen, zoals $(D^4-2D^2+1)y=e^x$ kan het weer een stapje ingewikkelder worden: $1$ en $-1$ zijn dubbele oplossingen van de hulpvergelijking $r^4-2r^2+1=0$ en dan zijn $e^x$, $e^{-x}$, $xe^x$ en $xe^{-x}$ de basisoplossingen van de homogene; dan moet je $Ax^2e^x$ proberen.

Iets dergelijks krijg je met $(D^4+2D^2+1)y=\sin x$: dan zijn $i$ en $-i$ dubbele oplossingen van de hulpvergelijking en dus zijn $\sin x$, $x\sin x$, $\cos x$ en $x\cos x$ oplossingen van de homogene; dan moet je $Ax^2\sin x+Bx^2\cos x$ proberen (de $\cos x$ is nodig als afgeleide van $\sin x$).

kphart
4-5-2017