WisFaq!

Een toepassing van de differentiaalrekening

In mijn wiskunde boek staat de volgende opgave: Een voorwerp met massa m hangt aan een veer. De uitslag x van de veer op een gegeven tijdstip t bij enkelvoudige, ongedempte, harmonische trillingen ( bij een veer met een veerconstante k en een gewicht met massa m) is gegeven door:
x = x₀ · cos(w·t) + ^v/_w · sin(w·t)

t$\ge$0.

Hierin is k de veerconstante en geldt w=√(^k/_m).
w·t is in radialen uitgedrukt.

In de beginpositie, op t = 0, is x₀ de weglengte, gemeten vanaf de evenwichtstoestand en v₀ de beginsnelheid.

Nu is de vraag: Bereken de maximale uitslag vanaf de evenwichtstoestand, dus de amplitude. Hoe groot zijn de snelheid en de versnelling op het moment dat de uitslag maximaal is.

Ik weet dat je de maximale uitslag kan vinden door de formule te differentiëren en deze daarna aan 0 gelijk te stellen. 0 = -w·x₀·sin(w·t) + v · cos(w·t)
Automatisch is de snelheid bij de afgeleide gelijk aan 0. alleen kom ik hier niet verder met het beantwoorden van de vraag.

Met vriendelijke groet

Erwin den Boer
24-4-2017

Antwoord

Je hebt dus gevonden dat $wx_0\sin wt=v_0\cos wt$ moet gelden (de $v$ in je formule moet $v_0$ zijn), ofwel $\tan wt=v_0/(wx_0)=(v_0/w)/x_0$. Er zijn twee getallen in $[0,2\pi)$ die deze tangens hebben; welk van de twee je moet hebben hangt van de tekens van $v_0$ en $x_0$ af. De waarde, $\phi$, die je zoekt moet voldoen aan
$$
\cos \phi=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}}}
$$
en
$$
\sin \phi=\frac{v_0/w}{\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}}}
$$
Met die $\phi$ kun je je formule herschrijven in fase-amplitudevorm:
$$
\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}}(\cos\phi\cos wt+\sin\phi\sin wt)=
\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{w^2}}\cos(wt-\phi)
$$
Hieruit kun je de amplitude dus zo aflezen.

kphart
25-4-2017