WisFaq!

Lengte van een sinusperiode

Stel je hebt de standaard sinusoïde:
f(x)=a·sin[b(x+c)]+d
Met:
evenwichtsstand = d
amplitude = |a|
periode = 2$\pi$/|b|
verschuiving horizontaal = c

Wat is dan de lengte van de kromme over 1 periode?
Kun je dit analytisch uitrekenen?
Kan dit met de booglengte? L=integraal van -a/2 naar +a/2 over wortel (1+f'(x)²) dx

bedankt voor jullie hulp
groet

Wim & Onno
21-4-2017

Antwoord

Voor de lengte van de kromme zijn $c$ en $d$ niet van belang (oopschuiven verandert niets), dus die laten we even weg.
De lengte is inderdaad gelijk aan een integraal, maar niet aan die uit de vraag; je moet niet de amplitude op de $x$-as uitzetten. Je moet over een volledige periode integreren, en die is $2\pi/b$. Je moet dus
$$
\int_0^{\frac{2\pi}b}\sqrt{1+(ab)^2\cos^2(bx)}\,\mathrm{d}x
$$
hebben. Dus, bijvoorbeeld voor $\sin x$ zelf krijg je
$$
\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x
$$
Die kun je ook schrijven als
$$
\int_0^{2\pi}\sqrt{2-\sin^2x}\,\mathrm{d}x
$$
en dat is een Elliptische integraal. Daarvan is een heleboel bekend (zie de link hieronder), onder andere dat deze niet met behulp van elementaire functies is uit te rekenen.

Zie Wikipedia: Complete elliptic integral of the second kind [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral#Complete_elliptic_integral_of_the_second_kind]

kphart
21-4-2017