WisFaq!

Stelling van Bolzano gebruiken bij tekenonderzoek met proefpunten

Wij gebruiken het studiepakket van Jennekens en Deen. Op pagina 74 in het hoofdstuk over continuïteit in het boek Analyse I staat iets wat ik niet begrijp. Het is een langere uitleg om duidelijk te maken waar het probleem zit.

Men begint met de stelling van van het nulpunt (stelling van Bolzano)

STELLING: Als f continu is in [a,b] zodanig dat f(a) en f(b) verschillende tekens hebben, dan heeft f ten minste één nulpunt c element van ]a,b[.

Daarna zeggen ze dat er een andere vorm is van deze stelling namelijk

ANDERE VORM VAN DE STELLING: Is een functie f continu in een gesloten interval, dan kan in dit interval f(x) niet van teken veranderen zonder er gelijk aan nul te worden.
Dit is volgens mij de logische contrapositie van de stelling. Daarna wordt deze andere vorm van de stelling dan (in een eerste voorbeeld) gebruikt om een tekenonderzoek te maken van de volgende functie f: y=sqrt(3·x²+2)-x-2. Het domein is R, de nulpunten zijn 0 en 2. Het domein wordt dan opgedeeld in deelintervallen die als grenspunten de verkregen nulpunten hebben d.w.z. ]-oneindig,0] en [0,2] en [2,+oneindig[. Dan gebruikt men de andere vorm van de stelling om het volgende te concluderen: de functie heeft hetzelfde teken op het hele interval omdat er geen nulpunt in het interval zit en dus volstaat het om het teken in een proefpunt te berekenen om het teken over het hele interval te kennen. Bij het interval [0,2] ben ik hiermee akkoord; hier wordt gewoon de contrapositie van de stelling toegepast. Bij de andere intervallen ]-oneindig,0] en [2,+oneindig[ wordt echter dezelfde conclusie getrokken, waarom mag dit (is dit een uitbereidng van de stelling ofzo, hoe bewijs je dit)?

Baudoint
12-4-2017

Antwoord

Bijvoorbeeld op $[2,\infty\mathclose [ $: neem twee punten, zeg $a$ en $b$, beide groter dan $2$. Dan ligt er tussen die twee punten geen nulpunt van $f$, dus zegt de contrapositieve versie dat $f$ tekenvast is op het interval tussen $a$ en $b$, in het bijzonder hebben $f(a)$ en $f(b)$ hetzelfde teken. Omdat $a$ en $b$ willekeurig waren zijn we klaar.

kphart
12-4-2017