WisFaq!

ln differentieren en primitiveren

kan ik wat voorbeelden krijgen van hoe je een natuurlijke logaritme differentiert en primitiveert?
bijv.:
3·4^(2x+1), dat moet dan eerst worden geschreven met grondgetal e en dan gedifferentierd.

e^(-3x+5)+ e^(-2x), dat moet geprimitiveerd.

Alvast bedankt

N
12-3-2003

Antwoord

Het differentieren gaat met behulp van impliciet differentieren. Als je wilt weten hoe dat gaat stuur dan een reactie op dit antwoord. Gevolg is dat ln'(x)=1/x

Het integreren van een natuurlijke logaritme (ln) gaat mbv partieel integreren. Partieel integreren is de volgende regel:
|f(x)G(x)dx = [F(x)G(x)]-|F(x)g(x)dx
Hierboven is de volgende notatie gebruikt f is de afgeleide van F (evenzo voor g en G) en | is een integraalteken...). Je kunt dit nagaan door aan beide de afgeleide te nemen en inachtneming van de productregel.

Er volgt voor de primitieve van ln(x): xln(x)-x
|1 ·ln(x)dx = [x·ln(x)] - |x·(1/x)dx

VB primitieve van 3·4^(2x+1) = 12·16^x
(3·4^(2x+1) = 12·4²x = 12·16^x)
wat ik nu doe is:
exponenten zijn invariant onder het nemen van afgeleides. Er verschijnt alleen een constante gelijk aan de ln van het grondtal, maw (a^x)' = ln(a)·a^x. Dus bij primitiveren delen we door dat getal.
Er volgt primitieve van 12·16^x = 12/ln(16) · 16^x
Dit kunnen we nog eleganter maken: 3/ln(2) · 4²x maar dat is geneuzel in de marge...

Ik vind dat gedoe met dat omschrijven naar e-machten maar gerotzooi: 16^x = e^{x·ln(16)}. Soms is het makkelijker maar wees ervan overtuigd dat als je jezelf probeert te helpen je tussenstap je probleem ook echt makkelijker maakt. Is dit niet het geval dan is er slechts sprake van bezigheidstherapie :-(. En dan kun je beter iets leuks gaan doen ook al is wiskunde natuurlijk ook wel heel leuk ;-)...

MvdH
12-3-2003