WisFaq!

Gelijkvormigheidstransformatie en meetkundige plaats

Door een vast punt O trekt men een variabele rechte l, die 2 gegeven evenwijdige rechten a en b snijdt in A resp. B. Men trekt nu de loodlijn l' in O op AB, en neemt daarop de punten M en N zo dat OM = ON = AB. Bepaal de meetkundige plaats van M en N.

Mijn bevindingen: ik vertrok van de stand van l waarbij AB minimaal is. Ik noem dit lijnstuk AoBo (l staat dan loodrecht op a én b). Op die manier ontstaat DAoBoMo. Vervolgens koos ik een willekeurige stand van l, en dit leidt dan tot de DABM. Noem dan a de hoek tussen OAoBo en OAB.

Ik stelde dan vast dat:
OB/OBo = OM/OMo = AB/AoBo = 1/cos(a) (1)
(tussenstappen laat ik weg om het wat in te korten).

Ik kon hieruit besluiten dat er een gelijkvormigheidstransformatie bestaat die driehoek AoBoMo omzet in driehoek ABM.

Uit (1) volgt een verband tussen OM en OB:
OM = n·OB/(m+n) (2) hierin is m = OAo en n = AoBo

Op basis van (2) concludeer ik dat M gelegen is op een rechte mp₁, blijkbaar loodrecht op a en b (volgens GeoGebra).

Ook het omgekeerde lukte: gegeven een punt Q op mp₁, dan moet worden aangetoond dat OQ = A'B'.
Besluit: mp₁ is de meetkundige plaats van de punten M.

Wegens het feit dat N het beeld is van M op basis van een puntsymmetrie, zal de meetkundige plaats van N ook een rechte zijn, nl. mp₂



VRAAG: Hoe kan ik aantonen dat mp₁ en dus ook mp₂ loodrecht staan op a en b?

Bedankt voor uw eventuele tussenkomst!

Yves De Racker
23-3-2017

Antwoord

Ik zou nog de loodlijn vanuit $A$ op $b$ tekenen, met snijpunt $D$. Dan zijn de driehoeken $OM_0M$ en $ADB$ congruent: $OM$ en $A$ zijn even leng en onderling loodrecht, net als $OM_0$ en $AD$, dus de hoeken bij $O$ en $A$ zijn gelijk (dat is jouw hoek $\alpha$). Dus $M_0M$ en $DB$ zijn ook onderling loodrecht.

kphart
23-3-2017