WisFaq!

Vergelijking van rechten en vlakken

Hallo iedereen,

Ik probeer deze oefening al geruime tijd op te lossen maar telkens geraak ik vast. Wie kan mij helpen?

Gegeven: De rechten

 a {x=-2            en b {x=1
   {y-z=0                {y+z=0

En het vlak gamma $\leftrightarrow$ y= 3/4

1. bepaal een rechte $c_k$ die de rechte a en b snijdt en door het punt $(0,0,k)$ gaat waarbij $k$ een reëel getal is.
2. bepaal de coördinaten van het snijpunt $S_k$ van de rechte $c_k$ met het vlak gamma.
3. bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten $S_k$ als het punt $P$ op de $z$-as doorloopt.
4. Wat stelt deze meetkundige plaats (die een figuur in het vlak gamma is) voor.

Jonas
18-3-2017

Antwoord

Ik zou beginnen met parametervoorstellingen van de lijnen te maken: bij $a$: $x=-2$, $y=t$, $z=t$; bij $b$: $x=1$, $y=s$, $z=-s$.
Neem $A$ op $a$ en $B$ op $b$; zorg nu dat $A-(0,0,k)=(-2,t,t-k)$ en $(0,0,k)-B=(-1,-s,k+s)$ dezelfde richting hebben (dat wordt de richtingsvector van $c_k$). Aan de eerste coordinaat kun je zien dat $A-(0,0,k)$ gelijk is aan tweemaal $(0,0,k)-B$. En daaruit kun je berekenen dat $(-2,k,k/2)$ (of $-4,2k,k)$) een richtingsvector van $c_k$ is.
Het snijpunt $S_k$ is dan makkelijk te bepalen ($(-3/(2k),3,4,k+3/8)$).
Denk nu nog maar eens na over wat voor figuur $S_k$ doorloopt als $k$ varieert.

kphart
19-3-2017