WisFaq!

Lengte zwaartelijnen

In Δ𝐴𝐵𝐶 zijn de lengtes van de zijden gelijk aan 𝑎, 𝑏 en 𝑐. De lengtes van de zwaartelijnen zijn gelijk aan 𝑝, 𝑞 en 𝑟.
Bewijs dat (𝑎² + 𝑏² + 𝑐²) ∶ (𝑝² + 𝑞² + 𝑟²) = 4 ∶ 3
Als ik een getallenvoorbeeldje neem, kan ik deze som gemakkelijk oplossen. Maar nu wil ik deze som graag bewijzen zonder getallenvoorbeeldje. Waar moet ik dan beginnen?

Anne
12-3-2017

Antwoord

Dag Anne,
Ik ben eigenlijk wel nieuwsgierig naar het getallenvoorbeeldje...

Je zou kunnen beginnen met het tekenen van (bijvoorbeeld) alleen de zwaartelijn AD uit A.
In driehoek ABD en ACD kan je dan de cosinusregel toepassen met betrekking tot hoek D; in beide gevallen: AD² = ...
Daarmee kan je aantonen dat
2AD² = 2p² = b² + c² - ¹/₂a²
Hierbij moet je gebruiken dat de cosinussen van de hoeken D in de driehoeken elkaars tegengestelde zijn.
Analoge uitdrukkingen kan je dan vinden voor 2q² en 2r² die dan door optelling leiden tot de door jou genoemde eigenschap.
Succes verder,

dk
13-3-2017