WisFaq!

Integreren van goniometrische functies

Hoi,

Ik moet de volgende integralen oplossen:

1. integraal van 1/sin⁴(x)dx
2. integraal van √(1-sin(2x))dx

Bij allebei weet ik niet goed hoe ik hieraan moet beginnen.

Alvast bedankt!
Sarah

Sarah
10-3-2017

Antwoord

Bij de eerste denk ik aan partiele integratie:

$$
\int\frac1{\sin^2x}\cdot\frac1{\sin^2x}dx = \frac1{\sin^2x}\cdot-\frac{\cos x}{\sin x} - \int-2\frac{\cos x}{\sin^3x}\cdot - \frac{\cos x}{\sin x}dx
$$
Bij de tweede denk ik aan een gonioformule: $\cos2x=1-2\sin^2x$ ofwel $1-\cos 2x=2\sin^2x$; via $\sin y=\cos(\frac\pi2-y)$ kun je van $1-\sin2x$ een kwadraat maken.

Voor hogere machten van $\sin x$:

$$
\int\frac1{\sin^nx}\cdot\frac1{\sin^2x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} - n\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
ofwel
$$
(n+1)\int\frac1{\sin^{n+2}x}dx = -\frac{\cot x}{\sin^nx} + n\int\frac1{\sin^nx}dx
$$
Op die manier kun je alles terugbrengen tot de primitieven van $1/\sin^2x$ en $1/\sin x$.

kphart
11-3-2017