WisFaq!

Re: Complexe differentiaalvergelijking

Dag Klaas Pieter ,
Ik zat eigenlijk vast op vergelijking (1)en zie nu dat deze vergelijking niet voor niets op nul wordt gesteld .
Ik reken dus verder (neem nu C' voor DC als U het goedvindt)
C'()1= -C'(2)sin3x/cos3x (3)
Stop ik nu (3) in (2)
-3(-C'(2)(sin3x/cos3x)·sin3x +3c'(2)cos3x=xcosx
3C'(2)(sin²3x)+3C'(2)cos²3x=xcoxcos3x
C'(2)= ¹/₃ xcosxcos3x (4)
(( want sin²3x+cos²3x=1(gelukkig maar...)en(I) =integraal want kan symbool somteken niet genereren op mijn browser ))
C(2)= 1/3(I)xcosxcos3xdx
C(2)=1/6(I)xcos2xdx +1/6(I)xcos4xdx want cos(-2x)=cos2x
C(2)= 1/6((xsin2x)/2+(cos2x)/4+(xsin4x)/4+(cos4x)/16)
C(2)= 1/12(xsin2x)+1/24(cos2x) +1/24(xsin4x)+1/96(cos4x) (5)
NU: (4) in (1)
C'(1)+C'(2)sin3x/cos3x=0
C'()1+1/3(xcosxcos3x·sin3x)/cos3x=0
C'(1)= -1/3(xcoscos3x)
C(1)=-1/3(I)(xcosx.sin3x)dx
C(1)= -1/6(I)( xsin4xdx-sin(-2x)dx)
C(1)=-1/6(I)xsin4xdx-1/6(I)(xsin2x)dx
C1= uitgewerkt
C1= -1/6((-xcos4xdx)/4-(I)(-cos4x/4)dx))
-1/6((-xcos2x)/2-(I)(-cos2x)/2dx
C1= (1/24) xcos4x-(1/96)sin4x+¹/₁₂xcos2x-(1/24)sin2x (6)

Nu nog C1 en C2 invullen (5) en (6) in de gegeven optie y₁=C(1)C(1)cos3x+C(2)sin3x en we vinden , na herleiding en toepassing van formules (producten van cosinussen en sinussen ·cosinussen volgende oplossing..
y= C(1)cos3x+C(2)sin3x +1/24xcos4xcos3x-1/96sin4xcos3x+1/12xcos2xcos3x -1/24sin2xcos3x+1/24xsin4xsin3x+1/96cos4xsin3x
+1/12xsin2xsin3x+1/24cos2xsin3x

y=C(1)1cos3x+C(2)sin3x+1/24(x(cos7x+csx))-1/96(sin7x+sinx)
+1/12(x(cos5x+cosx))-1/24(sin5x-sinx)+1/24(x(cosx-cos7x))
+1/96(sin7x-sinx)+1/12(x(cosx-cos5c))+1/24(sin50+sinx)
Cos(-x)= cosx en sin(-x)=-sinx dadelijk toegepast.

Tenslotte bekom ik door optellen van soortgelijke termen:

y=C(1)cos3x+C(2)sin3x+1/4xcosx+1/32sinx+1/24xcos7x-1/24cos7x

Ik hoop dat ik hier goed uitkom want het was aardig wat rekenwerk En ik heb er een tijd,heel graag, mee bezig geweest !
Bedankt voor je tijd, K-P, en je moeite dit alles te willen nazien...
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
6-3-2017

Antwoord

Het antwoord aan het eind klopt, je kunt de termen met $\cos 7x$ nog tegen elkaar wegstrepen. In vergelijking met de eerdere vraag zijn $C_1$ en $C_2$ omgewisseld maar dat maakt niet echt uit. Halverwege zit een verschrijving: $C_1'=-\frac13x\cos x\,\cos 3x$ (dat moet ($\sin 3x$ zijn, maar in de regel daaronder staat het weer goed:
$$
C_1=-\frac13\int x\,\cos x\,\sin3x\,\mathrm{d}x
$$

kphart
8-3-2017