WisFaq!

Maximum en minimum van normaal verdeelde stochasten

Gegeven zijn N onafhankelijke en identiek normaal verdeelde stochasten, met verwachting µ en standaarddeviatie .

Als we vervolgens N realisaties hebben (we trekken als het ware voor elke stochast een waarde), en we beschouwen het verschil tussen de maximum realisatie en de minimum realisatie; op welke wijze kan ik, voordat de realisaties bekend zijn, analytisch bepalen welke overschrijdingskans hoort bij een bepaalde waarde voor dit verschil?

Concreet voorbeeld: we hebben 6 stochasten, normaal verdeeld (µ=7,=2). Wat is de kans dat het verschil tussen de maximum en minimum realisatie groter zal zijn dan 5?

Algemener: hoe is {max(N)-min(N)} verdeeld, en met welke parameters?

Arno Willems
11-3-2003

Antwoord

Dit is een interessant, maar uitermate lastig probleempje. De vraag is of dit probleem theoretisch wel oplosbaar is met behulp van bekende functies. Wellicht weet je of dat zo zou moeten zijn.
Ik heb gekeken naar de verdeling van de maximale waarde en de minimale waarde maar of die twee uberhaupt normaal verdeeld zijn en of die twee volledig onafhankelijk zijn ? Ik betwijfel het. Ik denk dat die weg niet tot succes zal leiden. Komende week zal ik nog eens wat proberen na te zoeken maar verwacht daar niet al te veel van.

Overigens is er wel een mogelijkheid om hier iets over te zeggen, ook al zou het formulematig niet oplosbaar zijn. Je kunt namelijk die 6 trekkingen simuleren (de verwachtingswaarde 7 doet er natuurlijk helemaal niet toe).
Gebruik een goede randomgenerator. Herhaal dat experiment eens een keer of 100.000 en laat hier eens wat analyses op los. Ik schat een verwachtingswaarde voor dat verschil in de buurt van de 5 a 6.

En soms komt de oplossing sneller dan je zelf verwacht. Ik denk echt dat het volgende artikel (een gedeelte van) het antwoord geeft. Geen normale verdeling dus. Zie Verdeling Maximum-Minimum

Komt dit antwoord een beetje tegemoet aan wat je zoekt ? Laat het even weten. Uiteraard is interessante input bij dit probleem altijd welkom!

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
13-3-2003