WisFaq!

Vraag rekenregels limieten (oneindig)

de limiet is als volgt:

lim[1/5·(n+1)·((1+3/n)/(1+4/n))²]
met n $\to$ oneindig
Het is duidelijk dat lim[((1+3/n)/(1+4/n))²] naar 1 convergeert en lim[(n+1)] divergeert, dus dat de limiet naar oneindig gaat.

Aangezien lim(n+1) geen reël getal is kun je niet de rekenregels voor limieten toepassen
(lim[(a)(b)]=lim(a)·lim(b)).
Mijn vraag: Hoe kun je dit dan wel netjes aantonen?

Alvast bedankt

oscar
14-1-2017

Antwoord

Het gaat, zo te zien, om
$$
\lim_{n\to\infty}\frac15(n+1)\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2
$$inderdaad geldt, volgens de rekenregels, dat
$$
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2=1
$$Er is dus een $N$ zo dat voor $n\ge N$ geldt
$$
\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2 \ge\frac12
$$en dus
$$
\frac15(n+1)\left(\frac{1+\frac3n}{1+\frac4n}\right)^2\ge\frac1{10}(n+1)
$$Nu kun je via de definitie van $\lim_nx_n=\infty$ laten zien dat de limiet $\infty$ is.

kphart
14-1-2017