WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen

Geachte,

Ik ben al uren bezig met enkele goniometrische vergelijkingen.
Het lukt niet om ze op te lossen. Ik heb al veel geprobeerd, het lukt echt niet.

Wilt u a.u.b helpen? Ik ben u zeer dankbaar!
U kunt hieronder zien tot hoever ik geraakt ben.

Vergelijking 1) 6.sin((1/2x)+($\frac{\pi}{3}$))+3=0
sin((1/2x)+($\frac{\pi}{3}$))+3=0
sin((1/2x)+($\frac{\pi}{3}$))=-3
Hier zit ik vast.

Vergelijking 2) sec(x/-5)=-3
Hier weet ik hoe ik eraan moet beginnen.

Vergelijking 3) cos2x + cos 3x=0
2.cos(5/2x).cos(-1/2x)=0 (formule van Simpson)
hier zit ik opnieuw vast.

Vergelijking 4) tan² (x) - 2tanx +1=0
tanx.tanx - 2tanx=-1
hier zit ik alweer vast.

Vergelijking 5) sin² (2x) - sin² (x)= 1/4
sin2x.sin2x - sin² (x) = 1/4
2sinx.cosx.2sinx.cosx - sin² (x) = 1/4

Hier zit ik vast. Ik weet niet of dat alle tussenstappen hier bij vg$\lambda$₅ correct zijn.

Alvast super veel bedankt voor de hulp.
Het lukt mij echt niet.
Bedankt!

Imaad
14-1-2017

Antwoord

Hallo Imaad,

Eens kijken of ik je wat op weg kan helpen.

Bij Vergelijking 1) ben je vooral de zes vergeten mee te nemen. Doe je dat wel dan eindig je niet met =-3 maar met =-¹/₂.

Bij vergelijking 2) gaat het om dat je weet dat $\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}$.
Dan wordt je vergelijking $\cos(-\frac x5)=-\frac 13$ (als ik je typwerk goed geïnterpreteerd heb).

Bij vergelijking 3) heb je het moeilijke werk al gedaan. Een vergelijking met een product = 0 kun je altijd splitsen. Dus het wordt $\cos(\frac 52x)=0$ of $\cos(-\frac 12x)=0$.

Bij vergelijking 4) zou je eens $p=\tan(x)$ kunnen substitueren. Dan krijg je $p^2-2p+1=0$ ofwel $(p-1)^2=0$ en dus $p-1=0$. Daarmee zou je verder moeten kunnen.

Tenslotte vergelijking 5), die is veruit het lastigst. Mij lijkt de volgende oplossingsrichting wel wat:

1. Gebruik dat $\sin^2(x)=\frac 12 - \frac 12 \cos(2x)$;
   
2. Gebruik ook dat $\sin^2(2x)=1-\cos^2(2x)$;
   
3. Dan krijg je een vergelijking waarin je $p=\cos(2x)$ kunt substitueren, en die vergelijking is kwadratisch in $p$
   

Hopelijk genoeg op weg geholpen. Succes!

Groet,

FvL
14-1-2017