WisFaq!

Negatieve waarden voor de natuurlijke logaritme

Hallo Wisfaq!

Ik wil graag de volgende integraal berekenen:

INT[2/(x² -4)]dx, van 0 tot 1.

INT[2/(x² -4)]dx=¹/₂ln(x-2)+¹/₂ln(x+2).

Volgens mij moet ik schrijven ln(|x-2|). Dan is het antwoord als ik intergreer van 0 tot 1 gelijk aan (-1/2)ln(3) want

¹/₂[ln(|1-2|)-ln(1+2)]-1/2[ln|0-2|-ln(0+2)]=¹/₂[0-ln(3)]-¹/₂[ln(2)-ln(2)]

Is dit juist? Maples geeft als antwoord -arctanh¹/₂

Groeten,

Viky

viky
12-1-2017

Antwoord

Beste Viky,

Op het interval [0,1] is ln(x-2) niet gedefinieerd, maar de primitieve is correct als je daar ln(2-x) neemt of, zoals je zelf aangeeft, ln|x-2|.

Je antwoord klopt en is gelijk aan dat van maple; er geldt namelijk:$$\mbox{arctanh}\,x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$en dus heb je met x = 1/2:
$$-\mbox{arctanh}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\ln 3}{2}$$mvg,
Tom

td
12-1-2017