WisFaq!

Twee regelmatige achthoeken met zijden z en Z

Twee regelmatige achthoeken met zijden z en Z hebben hetzelfde middelpunt en hun zijden zijn twee aan twee evenwijdig; de oppervlakte van de grootste(met zijde Z) is tweemaal deze van de kleinste. Bepaal de kortste afstand tussen hun zijden.

• Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996-1997: Eerste Ronde

Je kunt kiezen tussen:

a) z/3
b) z/2
c) Z/3
d) Z/2
e) z

Kan iemand mij aub helpen met dit?
Alvast zeer bedankt

shake
3-1-2017

Antwoord

Hallo Shake,

Stel de kleine regelmatige achthoek is $ABCDEFGH$. Je kunt de zijden $AB$, $CD$, $EF$ en $GH$ verlengen, dan vormen zij de zijden van een vierkant.
De aangeplakte hoekjes zijn rechthoekige driehoeken met schuine zijde $z$ en rechthoekzijden $\frac 12\sqrt{2}z$.
De lengte van de zijden van het vierkant zijn dus $z + \sqrt{2}z$.

De grotere achthoek heeft tweemaal zo grote oppervlakte en dus $\sqrt 2$ maal zo grote zijden: $\sqrt{2}\cdot(z + \sqrt{2}z)=2z + \sqrt{2}z$.

Het verschil in lengte tussen de zijden van de vierkanten is dus $z$.

Omdat de middens van de achthoeken samenvallen, dus ook van de vierkanten, is de kortste afstand tussen de zijden van de vierkanten de helft van het verschil in zijdelengte: $\frac 12z$. Dezelfde kortste afstand tussen de zijden geldt natuurlijk ook voor de achthoeken. Het antwoord is dus b.

FvL
4-1-2017