WisFaq!

Re: Convergentie

De rij met termen An = 1/n gaat naar 0, terwijl de reeks divergeert? De rij met termen An = 1/n² gaat naar 0, terwijl de reeks convergeert?
Gevoelsmatig voelt dit erg vreemd aan... Hoe kan ik dit beter proberen begrijpen?

Morgan Wijtjens
19-12-2016

Antwoord

Beste Morgan,

Je kan dit best op de volgende manier begrijpen: het optellen van een eindig aantal termen is nooit een probleem, die som is sowieso eindig. We kunnen wiskundig een betekenis proberen te geven aan het optellen van een 'oneindig aantal' termen: reeksen.

Dat dit op een zinvolle manier kan gebeuren, kan je intuïtief aanvoelen door te kijken naar de volgende reeks:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$$Elke term is de helft van de vorige. Teken een lege schijf en kleur de helft, vervolgens een kwart (dat is de helft van wat overbleef), vervolgens een achtste (weer de helft van wat overbleef) enz. Het is duidelijk dat je nooit meer dan één schijf zal nodig hebben, hoeveel termen je ook neemt. Het 'ongekleurde' deel van de schijf kan je wel zo klein krijgen als je maar wil, door genoeg termen erbij te nemen en in te kleuren. De som blijft eindig en het ligt voor de hand om aan de reeks als som '1' toe te kennen als je 'alle' (dus oneindig veel) termen beschouwt.

Dit lukt uiteraard niet altijd, zo is het duidelijk dat de som
$$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots$$geen eindige waarde kan hebben. Opdat de som van oneindig veel termen toch een eindige waarde kan hebben, is het in elk geval nodig dat de termen van de som zelf naar $0$ gaan.

Uit het voorbeeld van de som met termen $\tfrac{1}{n}$ blijkt echter dat dit niet voldoende is: het is niet omdat de termen naar $0$ gaan, dat de bijhorende reeks een eindige waarde heeft ('convergeert'). Dat dit voor $\tfrac{1}{n}$ niet lukt, kan je op de volgende manier inzien; groepeer de termen als volgt (ik laat de eerste term '1' even achterwege):
$$\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \left( \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16} \right) + \left( \frac{1}{17} + \cdots \right.$$Deze som is duidelijk groter dan de volgende som:
$$\frac{1}{2}
+\underbrace{\left(\color{red}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}\right)}_{\mbox{2 termen}}
+\underbrace{\left(\color{blue}{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}\right)}_{\mbox{4 termen}}
+\underbrace{\left(\color{purple}{\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}\right)}_{\mbox{8 termen}}
+\left( \frac{1}{32} + \cdots \right.$$maar in deze laatste som tellen we oneindig veel termen met waarde '1/2' op:
$$\frac{1}{2} + \color{red}{\frac{1}{2}} + \color{blue}{\frac{1}{2}} + \color{purple}{\frac{1}{2}} + \cdots$$en die som kan dus niet eindig zijn.

Samengevat: opdat een reeks met termen $a_n$ 'kan convergeren', moeten de termen $a_n$ in elk geval naar $0$ gaan. De reeks zal echter enkel convergeren als de termen 'snel genoeg' naar $0$ gaan: zo gaan de termen $\tfrac{1}{n}$ niet snel genoeg naar $0$ (de bijhorende reeks is divergent) maar de termen $\tfrac{1}{n^2}$ wel (de bijhorende reeks is convergent).

Of de termen wel of niet 'snel genoeg' naar $0$ gaan, is precies wat we nagaan wanneer we met behulp van eigenschappen en verschillende convergentietests een reeks onderzoeken.

mvg,
Tom

td
20-12-2016