WisFaq!

Basis van een nulruimte

Beste

Ik ben de theorie aan het overlopen van nulruimten van matrices. Klopt het dat de basis van een nulruimte net hetzelfde is als de nulruimte van een matrix zelf? Een nulruimte bestaat immers uit de vectoren die je vindt aan de hand van de vrije variabelen in de echelonvorm en voor de basis moet je net dezelfde methode toepassen.

• Algebra

Marie
18-12-2016

Antwoord

Beste Marie,

Nee, de nulruimte is niet hetzelfde als een basis voor die nulruimte. De nulruimte bevat ofwel enkel de nulvector, ofwel oneindig veel elementen. Als de nulruimte dimensie $k$ heeft, dan bestaat een basis uit precies $k$ elementen.

Bekijk bijvoorbeeld de matrix
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$$De nulruimte bestaat uit alle vectoren van de vorm $(0,y)$ met $y$ eender welk reëel getal. De nulruimte bestaat dus uit oneindig veel elementen, grafisch kan je het zien als de volledige $y$-as.

Een basis voor deze nulruimte is bijvoorbeeld $\left\{ (0,1) \right\}$ want elk element uit de nulruimte kan geschreven worden als een lineaire combinatie (in dit geval: veelvoud) van de vector $(0,1)$.

Eender welke andere niet-nulle vector van de vorm $(0,y)$ vormt ook een geschikte basis. Meer dan één van dergelijke vectoren samen kan echter nooit een basis vormen (dus zeker niet de gehele nulruimte) want die verzameling zou niet lineair onafhankelijk zijn.

mvg,
Tom

td
18-12-2016