WisFaq!

Complex assenstelsel

Geachte heer/ mevrouw,

Waarom zijn antwoorden voor x³-8=0:

2, -1+i√3, en -1+i√3. Die 2 begrijp ik, en dat alle lengtes gelijk zijn aan twee vanuit de oorsprong. Maar hoe bereken ik de imaginaire antwoorden? Dank.

Maarten
15-12-2016

Antwoord

Twee manieren:

1) in het algemeen met de modulus-argument methode: schrijf $x=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, met $r$>$0$ en $-\pi$<$\theta\le\pi$, en pas de formule van De Moivre toe: $x^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$ en stel dit gelijk aan $8=8(\cos0+i\sin 0)$. Dat volgt $r^3=8$ en $3\theta=0+2k\pi$ ($k$ geheel). Er zijn drie goede waarden voor $k$ en die leveren de drie antwoorden.

2) In dit geval kun je $x^3-8$ ontbinden als $(x-2)(x^2+2x+4)$. En je kunt $x^2+2x+4=0$ oplossen door kwadraat afsplitsen: $(x+1)^2=-3$.

kphart
15-12-2016