WisFaq!

Vergelijking met somteken vervolg

Rekenregels van het sommatie teken
Ik moet een veregelijking versimpelen maar het sommatie teken staat erin en ik ken de rekenregels van het sommatie teken niet! Kunnen jullie mij die rekenregels vertellen?

Ik moet van

sommering ((Xi - Xgem)²)

het volgende maken:

(sommering ((Xi)²)) - ((1/n) · (sommering (Xi))²)

Het maakt niet uit als de stof verder gaat dan de middelbare school. Ik snap het vast wel!

Bij voorbaat dank!
henk
9-3-2003

Antwoord
$\sum$(xi-xgem)2=$\sum$(xi2-2·xi·xgem+xgem2)
Nu komt de truc, je sommeert over n waarnemingen dan is de som van alle waarnemingen =$\sum$xi=n·xgem
En de som van xgem2 (n keer) levert op n·xgem2

Dat levert dus op $\sum$xi2 - 2·n·xgem·xgem + n·xgem2 =
$\sum$xi2 - n·xgem2 (bedenk nu dat xgem = 1/n·$\sum$xi)=
$\sum$xi2-1/n·($\sum$xi)2

Met vriendelijke groet

JaDeX

$\sum$ = sommering (hij copy paste raar!)

Bij de zin 'Dat levert dus op....' verdwijnen de haakjes van de vergelijking opeens (zie boven). Eerst stonden er haakjes omheen! Wanneer mag dat? En wat zijn de andere rekenregels van het sommatie teken? (maakt niet uit als stof verder dan middelbare school gaat!)

henk
10-3-2003

Antwoord

$\sum$(xi-xgem)²=$\sum$(xi²-2·xi·xgem+xgem²)=
$\sum$xi² - $\sum$2·xi·xgem + $\sum$xgem²
Hier gebruik ik dat ik de somtekens bij alle termen apart neer mag zetten.
Bedenk nu dat je sommeert over n waarnemingen en kijk wat dat voor elk van de drie termen betekent:
$\sum$xi² hieraan kan ik niets veranderen !
- $\sum$2·xi·xgem (bedenk nu dat $\sum$xi=n·xgem)= - 2·n·xgem·xgem
En $\sum$xgem² (dit is gewoon een constante die ik n keer sommeer) levert op n·xgem²

Dat levert dus op $\sum$xi² - 2·n·xgem·xgem + n·xgem² =
$\sum$xi² - n·xgem² (bedenk nu dat xgem = ¹/_n·$\sum$xi)=
$\sum$xi²-¹/_n·($\sum$xi)²

conclusie: de haakjes verdwijnen omdat ik het somteken in feite naar binnen trek en bij elke term apart ga toepassen.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
10-3-2003