WisFaq!

Vergelijking vlak bepalen

Bepaal de vergelijking van het vlak dat door de rechte a :x+y-z=3 en x +2y+7z+6=0 gaat en op een afstand 2 van
P ( 1,1,1 ) gelegen is.

Wij hebben nooit gewerkt met de formules van vlakkenwaaier.
Ik heb dus al de richting van a( 9;-8;1 ) en d(P,vlak)=2
dus (u+v+w+t)/sqrt(u²+v²+w²)=2

Hoe moet ik verder?

Vanneste Diana
28-11-2016

Antwoord

Het is jammer dat je niet kunt of wilt werken met de vlakkenwaaier, want dit type vraagstuk lost zich vrij eenvoudig op met dat begrip.

Als een normaalvector van een vlak de vector (a,b,c) is, dan zijn de drie getallen a, b en c niet allemaal gelijk aan nul en dat geeft de mogelijkheid om één kental gelijk aan 1 te kiezen.

Concreet: als (4,6,5) een gevonden normaalvector is, dan kun je die vervangen door (1,1¹/₂,1¹/₄) maar bijv. ook door (4/6,1,5/6)

Laat nu (1,b,c) normaalvector zijn van het vlak V dat je zoekt.

Je richtingsvector (9,-8,1) is correct en omdat deze loodrecht moet staan op de normaalvector, geldt 9 - 8b + c = 0 (inprodukt = 0).

De normaalvector (1,b,c) houdt in dat een vergelijking van het vlak de gedaante V: x + by + cz = d heeft.

De constante d kun je vastleggen door de coördinaten van een punt in de twee gegeven vlakken in te vullen. Zo'n punt is bijvoorbeeld (3,-1,-1) wat je door invullen kunt controleren.

Dit geeft d = 3-b-c zodat het vlak V de gedaante krijgt: x + by + cz = 3-b-c

Om de afstand tot (1,1,1) gelijk te maken aan 2, gebruik je de afstandsformule hetgeen oplevert |3-b-c-(3-b-c)|√(1+b²+c²) = 2

Deze laatste vergelijking leidt na kwadrateren tot iets simpelers en door dan de eerder gevonden vergelijking c = 8b-9 (zie het begin) erbij te halen, is het oplosbaar.

In feite is hetgeen jij probeerde hetzelfde als wat ik doe, maar jij wilt met 4 variabelen u, v, w en t in zee gaan en dat zijn er iets teveel om het leuk te vinden.

Overigens kun je in Wisfaq dezelfde opgave al vinden als je zoekt naar vlakkenwaaier (in het jaar 2004).

MBL
29-11-2016