WisFaq!

Kiezen van twee soorten muntstukken uit een doos

Ik heb 8 uur wiskunde in de week en zit in het 6e secundair onderwijs. de vraag gaat als volgt:
Een doos bevat drie glanzende en vier doffe muntstukken. De muntstukken worden nu lukraak één per één uit de doos getrokken en niet teruggeplaatst. Noteer a/b voor de kans dat je meer dan vier beurten zult nodig hebben om de drie glanzende muntstukken te trekken. Als a/b een onvereenvoudigbare breuk is, wat is dan a+b
(A)11 (B)20 (C)35 (D)58 (E)66

Geet
26-11-2016

Antwoord

Hallo Geert,

De 'van-begin-tot-einde-methode' is:

Meer dan 4 beurten nodig kan op 3 manieren: bij de eerste 4 beurten trek je:

1. 4 x een doffe munt, of
   
2. 3 x een doffe en 1 x een glanzende munt, of
   
3. 2 x een doffe en 2 x een glanzende munt.

Ik reken mogelijkheid 2 voor je voor:

De kans op eerst 3 doffe munten is ⁴/₇·³/₆·²/₅
De kans om hierna een glanzende munt te trekken, is ³/₄
Er zijn 4 mogelijke volgordes voor 3 doffe en 1 glanzende munt

De kans op 3 x dof en 1 x glans is dan 4·⁴/₇·³/₆·²/₅·³/₄

Op gelijksoortige wijze kan je de kansen op mogelijkheden 1) en 3) berekenen.

Een slimmere aanpak is deze: wanneer je meer dan 4 beurten nodig hebt om de laatste glanzende munt te pakken, moet er bij de laatste 3 beurten dus minstens 1 glanzende munt zitten. Het 'gaat dus mis' wanneer je bij de laatste 3 beurten 3 doffe munten pakt.
De kans op 3 doffe munten in de laatste 3 beurten is ⁴/₇·³/₆·²/₅ =
^(4·3·2)/_(7·6·5)

De kans dat je meer dan 4 beurten nodig hebt, is dan 1 - ^(4·3·2)/_(7·6·5)

Vereenvoudig de breuk zo ver mogelijk, trek deze van 1 af en je hebt a en b.

GHvD
26-11-2016