WisFaq!

Vectorruimten met verschillend aantal vectoren

Beste,

Hoe kan ik bewijzen dat een vectorruimte V1 = {(1,-2)} gelijk is aan vectorruimte V2 = {(-1,2),(7,-14)} ? Ik begrijp reeds dat je dit moet doen door gebruik te maken van lineaire combinaties, maar op welke manier moet ik dat bewijzen voor vectorruimten met een verschillend aantal vectoren? Daarnaast zou ik ook graag willen weten of de gelijkheid van V1 = V2 iets te maken heeft met de lineaire afhankelijkheid van V2?

Alvast bedankt!

Paul
15-11-2016

Antwoord

Omdat (7,-14) = -7(-1,2) is het apart vermelden van (7,-14) zinloos.
En omdat (1,-2) en (-1,2) tegengesteld zijn, geldt dat V1 = V2.

Meetkundig: V1 is de rechte lijn door (0,0) en (1,-2).
V2 is de rechte lijn door (0,0) en (-1,2) en deze gaat dan automatisch door (1,-2) en (7,-14).

Overigens gebruik je een wel nogal afwijkende en verwarrende notatie om een vectorruimte weer te geven.

Zoals het er nu staat lijken V1 en V2 de aanduidingen van twee verzamelingen met 1 resp. 2 elementen en in die opvatting zijn het verschillende verzamelingen. In het gegeven antwoord ben ik ervan uitgegaan dat V1 de vectorruimte is die opgespannen wordt door (1,-2) en zo ook met V2.

MBL
15-11-2016