WisFaq!

Hulp bij sangaku arbelos

Hi,
Ik had graag wat hulp gehad met het oplossen van volgende sangaku (zie bijlage). In de bijlage kan je mijn werkwijze zien , maar ik denk dat deze niet correct is aangezien ik een niet zo mooi resultaat krijg. Sangaku's hebben meestal een gemakkelijker oplossing.

Het lijkt dat de stralen a (straal linker halve cirkel) en b (straal rechter halve cirkel) zo gekozen zijn dat de cirkel in de linker bovenhoek en de incirkel congruent zijn. Onderzoek voor welke a en b dat het geval is.

LetjeDB
15-11-2016

Antwoord

Hallo LetjeDB,

In jouw figuur zou ik beginnen met alleen te kijken naar de grote halve cirkel. Die ligt vast, de onderverdeling komt later wel. Laten we daarom de straal van deze grote halve cirkel op 1 stellen. Vervolgens kunnen we de stralen van de twee cirkeltjes links ervan berekenen, zodanig dat ze precies in een rechthoek passen.

Ik doe even wat namen: het middelpunt van de grote halve cirkel noem ik M, van de kleine cirkels T (straal t, de onderste) en U (straal u, de bovenste, die jij gelijk had gesteld aan r). De projecties van T en U op de onderste zijde van de rechthoek noem ik T' resp. U'.
De hoekpunten van de rechthoek noem ik even A, B, C, D, tegen de klok in genummerd beginnend linksonderaan.

Nu hebben we dat $MT=1+t$ en $TT'=t$.

Dus
$$MT'= \sqrt{(1+t)^2-t^2} = \sqrt{2t+1},$$waaruit volgt dat
$$MA=\sqrt{2t+1}+t.$$
Op vergelijkbare wijze geldt dat $MU=1+u$ en $UU'=1-u$ .

Dus $$MU'= \sqrt{(1+u)^2-(1-u)^2} = \sqrt{4u} = 2\sqrt{u},$$
waaruit volgt dat
$$MA=2\sqrt{u} + u.$$
Dit levert de vergelijking

$$2\sqrt{u} + u = \sqrt{2t+1}+t \,\,\,\,[1]$$
De "horizontale afstand" tussen T en U is gelijk aan $u-t$. Dus kunnen we de "verticale" afstand tussen T en U berekenen als:
$$\sqrt{(u+t)^2-(u-t)^2} = 2\sqrt{tu}$$Omdat AD=1 (gelijk aan de straal van de grote halve cirkel) weten we dat $t+2\sqrt{tu} + u = 1$, ofwel $(\sqrt t + \sqrt u)^2 = 1$. Dat betekent, omdat t en u natuurlijk allebei positief zijn, dat:

$$\sqrt t + \sqrt u = 1\,\,\,\,[2]$$
Combineren van [1] en [2] geeft oplossing voor $t$ en $u$. Vervolgens kun je door de oplossing van $u$ gelijk te stellen aan de straal $r$ van de incirkel ook $a$ en $b=1-a$ berekenen.

Het is nog steeds niet een echt makkelijke oplossing, maar wel doenlijk lijkt me.

Zie Uchiko [http://www.sangaku.info/images/uchiko/Uchiko_0841.html]

FvL
22-11-2016