WisFaq!

Verloop van een functie

Hallo

Ik probeer een verloopschema van de volgende functie op te stellen: f(x) = (x²-1)/(x²-4)

Ik berekende reeds de volgende elementen:
- D = R\{-2,2}
- Snijpunten assen: (-1,0), (1,0) en (0, ¹/₄)
- Symmetrie: even
- Asymptoten
VA $\leftrightarrow$ x = -2
VA $\leftrightarrow$ x = 2
HA $\leftrightarrow$ y = 1
- 1ste afgeleide: (0, ¹/₄)
- 2e afgeleide: concaviteit

Als ik naar de grafiek van de functie kijk, merk ik dat er nog 2 speciale punten zijn die ik vergeten ben, nl. (-3, 8/5) en (3, 8/5). Waar heb ik deze over het hoofd gezien?

Tevens vroeg ik me ook nog het volgende af: Ik heb altijd vernomen dat een horizontale asymptoot een speciaal geval is van een schuine asymptoot en en functie dus nooit zowel een horizontale als schuine asymptoot kan hebben. Ik ben nooit een tegenvoorbeeld tegengekomen, tot vandaag.

Blijkbaar heeft de functie f(x) = (x·e^x)/(1+e^x) zowel een HA als SA.

Is dit een uitzondering of kunnen een SA en HA wel degelijk samen voorkomen?

L
7-11-2016

Antwoord

Beste L,

Als ik naar de grafiek kijk, zie ik niets bijzonders aan die twee punten. Toch niet 'meer speciaal' dan andere punten daar in de buurt... dus dan moet je toch even uitleggen wat je bedoelt. Het enige dat ik me kan voorstellen is dat je schat dat de afgeleide daar ongeveer $-1$ is, maar dat gebeurt al een beetje ervoor ($x \approx 2{,}85$).

Wat de asymptoten betreft: schuine en dus ook horizontale asymptoten heb je voor willekeurig grote en kleine $x$, dus (uiterst) 'links' en 'rechts'. Je kan niet tegelijkertijd twee verschillende asymptoten aan dezelfde kant hebben. Verder is alles mogelijk: wel aan de ene kant en geen aan de andere, of bv. horizontaal aan de ene en een andere horizontale of een schuine aan de andere kant.

mvg,
Tom

td
8-11-2016