WisFaq!

Domein bereik en extrema

Beste

Met volgende functie van 2 veranderlijken geraak ik niet tot een eindoplossing. Enkele delen ervan heb ik wel al kunnen oplossen, graag bijkomende info.

$\eqalign{f(x,y)= \sqrt{\frac{18x-3x^2-3y^2}{x^2\cdot y^2-6xy^2+8y^2}}}$

- Bepaal het bereik

$18x-3x^2-3y^2 \geq 0$ EN $x^2 \cdot y^2-6xy^2+8y^2\neq 0 $
$18x-3x^2-3y^2 = 0$
$6x-x^2-y^2=0$
$y^2=x^2-6x$
$y= \sqrt(x^2-6x)$
$x^2-6x \geq 0$ dus $b^2-4ac = 36$
dus nulpunten 0 en -6 en dan tekenonderzoek doen waar postief en negatief en uitsluiten ???

$x^2·y^2-6xy^2+8y^2 = 0$
$y^2·(x^2-6x+8) = 0$

dus $y^2=0$ OF $x^2-6x+8=0$ dan nulpunten zoeken en uitsluiten?

- Geef alle extreme waarden van de functie en specifieer zo nauwkeurig mogelijk hun aard. Geef voor elke extreme waarde aan in welke punten (x,y) de functie die waarde aanneemt.

Hier heb ik geen antwoord op gevonden...eventuele tip hoe ik dit kan oplossen?

glenn
4-11-2016

Antwoord

Voor het bereik heb je goed nagedacht over de voorwaarden, maar je hebt net een puntje gemist. Uiteraard mag de noemer van de breuk niet gelijk zijn aan 0 en het geheel onder de wortel mag niet negatief zijn. Maar de breuk hoeft niet negatief te zijn als de teller negatief is. Als de noemer ook negatief is, is het geheel natuurlijk weer positief. En als de teller negatief is, maar de noemer positief, heb je natuurlijk ook een probleem. Je zoekt dus naar gebieden waarbij de de teller en de noemer hetzelfde teken hebben.

Voor de tweede vraag zul je, net als in het geval van een functie in één variabele, moeten kijken naar de afgeleide. In dit geval bestudeer je de partiële afgeleiden (ik neem aan dat die besproken zijn als je deze vraag moet beantwoorden). Voor een punt met een extreme waarde geldt dat beide partiële afgeleiden gelijk zijn aan 0. Nu hoeft omgekeerd zo'n punt, we noemen dat een kritiek punt, niet per sé een extreme waarde aan te nemen; het kan ook een zadelpunt zijn. Dat is een punt dat in een richting een maximum aanneemt en in een andere richting een minimum. Omdat uit te sluiten zul je naar de tweede afgeleiden moeten kijken.

Laten we zeggen dat we het punt $(a,b)$ hebben gevonden waarvoor geldt dat het een kritiek punt is van de functie $f$. We definiëren nu de volgende variabelen:

$A = f_{1,1}(a,b)$
$B = f_{1,2}(a,b)= f_{2,1}=(a,b)$
$C = f_{2,2}(a,b)$
$D= B^2-AC$

Dan geldt:

- als $D $<$ 0$ en $A $>$ 0$, dan heeft $f$ een lokaal minimum in $(a,b)$
- als $D $<$ 0$ en $A $<$ 0$, dan heeft $f$ een lokaal maximum in $(a,b)$
- als $D $>$ 0$, dan heeft $f$ een zadelpunt in $(a,b)$
- als $D = 0$, dan geeft deze test geen uitsluitsel

Ik hoop dat je met deze aanwijzingen de opgaven kunt oplossen. Maar vraag gerust als er nog iets niet duidelijk is.

Daniel2
4-11-2016