WisFaq!

Pi kwadraat gedeeld door 6

Het gaat over $\pi$²/6=lim(1+1/2²+1/3²+…+1/n²) voor n$\to$oneindig.
Met Mathematica heb ik gevonden dat n=23 om voor $\pi$ de benaderde waarde van 3,1 te vinden. Om 2 correcte decimalen te bereiken moet n=599, en voor 3 correcte decimalen moet n=1611.

1. Heb ik wel juist gerekend?
2. Welke zijn de n-waarden om de benaderingen 3,1415 of 3,14159 of 3,141592 te vinden?

Steven Verhezen
2-11-2016

Antwoord

Zie het hieronder gelinkte artikel.
Door te gebruiken dat
$$
\frac1k-\frac1{k+1}\le\frac1{k^2}\le\frac1{k-1}-\frac1k
$$kun je voor de $n$de partiele som $P_n$ laten zien dat
$$
\frac1{n+1}\le\frac{\pi^2}6-P_n\le\frac1n
$$Dat verklaart de zeer langzame convergentie.

Zie Pythagoras: pi-kwadraat-gedeeld-door-zes [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg41/2002-04-pikwadraat.pdf]

kphart
2-11-2016