We hebben gezien dat
\frac1{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^n
dus \frac 1{(1+x)^2}=x\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^n = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^{n+1}
en dat laatste kunnen we ook schrijven als \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}nx^n
(schijft alle indices eentje op) en ook als \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}nx^n
(want de term bij n=0 is toch nul).Dit betekent wel dat er een foutje in je plaatje staat.
We hebben
6\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}nx^n + 2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(n+1)x^n
Als we het onder een somteken brengen komt er dus \sum_{n=0}^\infty \bigl(6(-1)^{n-1}n + 2(-1)^n(n+1)\bigr)x^n
en het geheel tussen de haken wordt dan (-1)^{n-1}(6n-2(n+1)) ofwel (-1)^{n-1}(4n-2); dit klopt met het antwoord in het plaatje, maar niet met de voorlaatste stap, daar moet (-1)^{n+1} tussen de 6 en de n staan.De tweede som gaat op een dergelijke manier:
\frac1{1-9x^2} = \sum_{n=0}^\infty (9x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty 9^nx^{2n}
(meetkundige reeks).Nu met 2x^3 en 4x^2 vermenigvuldigen; je krijgt dan twee reeksen, respectievelijk met alleen oneven en alleen even machten.
kphart
22-10-2016