We hebben gezien dat
$$
\frac1{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^n
$$dus
$$
\frac 1{(1+x)^2}=x\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^n = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)x^{n+1}
$$en dat laatste kunnen we ook schrijven als
$$
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}nx^n
$$(schijft alle indices eentje op) en ook als
$$
\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n-1}nx^n
$$(want de term bij $n=0$ is toch nul).
Dit betekent wel dat er een foutje in je plaatje staat.
We hebben
$$
6\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}nx^n + 2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(n+1)x^n
$$Als we het onder een somteken brengen komt er dus
$$
\sum_{n=0}^\infty \bigl(6(-1)^{n-1}n + 2(-1)^n(n+1)\bigr)x^n
$$en het geheel tussen de haken wordt dan $(-1)^{n-1}(6n-2(n+1))$ ofwel $(-1)^{n-1}(4n-2)$; dit klopt met het antwoord in het plaatje, maar niet met de voorlaatste stap, daar moet $(-1)^{n+1}$ tussen de $6$ en de $n$ staan.
De tweede som gaat op een dergelijke manier:
$$
\frac1{1-9x^2} = \sum_{n=0}^\infty (9x^2)^n = \sum_{n=0}^\infty 9^nx^{2n}
$$(meetkundige reeks).
Nu met $2x^3$ en $4x^2$ vermenigvuldigen; je krijgt dan twee reeksen, respectievelijk met alleen oneven en alleen even machten.
kphart
22-10-2016