WisFaq!

Oplossen van een vergelijking

Ik zou al heel erg geholpen zijn wanneer er een oplossing zou bestaan voor de volgende vergelijking (Maple notatie):

1-1/136080000*exp(-lambda*t)*lambda^10*t^10-1/4536000*exp(-lambda*t)*lambda^9*t^9-1/252000*exp(-lambda*t)*lambda^8*t^8-1/18900*exp(-lambda*t)*lambda^7*t^7-1/1800*exp(-lambda*t)*lambda^6*t^6-43/9000*exp(-lambda*t)*lambda^5*t^5-3/100*exp(-lambda*t)*lambda^4*t^4-7/50*exp(-lambda*t)*lambda^3*t^3-7/15*exp(-lambda*t)*lambda^2*t^2-exp(-lambda*t)*lambda*t-exp(-lambda*t)=x

Het gaat om een oplossing voor t met 0 $<$ lambda. Alleen oplossingen voot 0 $<$ t tellen.

Ad van der Ven
9-10-2016

Antwoord

We kunnen het linkerlid schrijven als $g(\lambda t)$, waarbij
$$
g(u)= 1-e^{-u}\left(\frac1{136080000}u^{10}+\frac1{4536000}u^9+\frac1{252000}u^8+\frac1{18900}u^7+\frac1{1800}u^6+\frac{43}{9000}u^5+\frac3{100}u^4+\frac7{50}u^3+\frac7{15}u^2+u+1\right)
$$
Aangezien $\lambda$ en $t$ positief moeten zijn is $u$ dat ook.
Met behulp van Maple is snel in te zien dat $g'(u)$>$0$ voor positieve $u$; verder geldt $g(0)=0$ en $\lim_{u\to\infty}g(u)=1$. De vergelijking heeft dus voor elke $x$ in het interval $[0,1)$ (en alleen die) precies één oplossing.

kphart
9-10-2016