WisFaq!

Vraagstuk matrices

Geachte,

Ik weet niet hoe je deze vraagstuk moet oplossen. Ik heb al geprobeerd maar het lukt niet.

Gegeven: Op een gegeven moment heerst er onder de 600 scholieren van een school een ziekte. De scholieren zijn in te delen in drie categorieen: Gezonde, besmette en zieke leerlingen.(GBZ).

De besmette scholieren hebben al wel het virus onder de leden, maar het is nog niet duidelijk of ze werkelijk ziek zullen worden. In een maand tijd wordt 50% ziek, maar ook 50% weer gezond.

Verder geneest elke maand 70% van de zieken, 30% blijft ziek en van de gezonde leerlingen raakt elke maand 60% besmet.

1. Stel de bijhorende overgangsmatrix op.
2. Nu zijn er van elke soort 200 leerlingen. Bereken hoeveel er dat over 2 maanden zullen zijn.
3. Uiteindelijk ontstaat er een stabiele situatie waarbij de aantallen zieken, gezonden en besmetten niet meer zullen veranderen. Bereken hoe groot die aantallen dan zullen zijn.

Het lukt echt niet :(
Bedankt voor de hulp!
Mvg

Imaad
6-10-2016

Antwoord

Wanneer je je 3x3 overgangsmatrix opstelt in de volgorde G(ezond), B(esmet) en Z(iek) door deze letters zowel boven als voor de matrix te plaatsen, dan bestaat de eerste kolom (dus verticaal ) uit de getallen 0,4 en 0,6 en 0.

De tweede kolom bestaat iit 0,5 en 0 en 0,5 en de derde kolom tenslotte bestaat uit de getallen 0,7 en 0 en 0,3.
Dit zijn de vertalingen in getallen van hetgeen in de opgave in tekst is uitgeschreven.

Zo is het getal 0,6 de vertaling van het gegeven dat 60% van de groep gezonden overgaat naar de groep besmetten.
Door de matrix toe te passen op een kolomvector die driemaal het getal 200 bevat, krijg je de aantallen na 1 maand. Pas de matrix dan nogmaals toe op de gevonden resultaten en je bent weer een maandje verder.

Voor de bepaling van de stabiele situatie zou je dit proces steeds kunnen herhalen zodat je steeds een maand verder bent. Dat kan soms lang duren en dan is een rekenmachine die matrices aankan wel handig.

Je kunt echter ook uitgaan van een kolomvector met getallen x, y en z en hierop de matrix toepassen. Het resultaat moet dan weer x, y en z zijn vanwege de stabiliteit.

Op http://www.hhofstede.nl/modules/overgangsmatrix.htm tref je niet alleen deze opgave maar ook andere voorbeeldopgaven aan.

MBL
6-10-2016