WisFaq!

Re: Kans berekenen kaarten

Beste meneer Gilbert,

Uw antwoord is anders dan het antwoord in het boek.
1) 132.600 mogelijkheden (52x51x50)
2) 42840/132600 = 0,32
3) 3x20160/124600=0,49
4) 0,33 en 0,44

Ik snap nog niet hoe ze aan de antwoorden komen en hoop dat u het kunt uitleggen

maike
5-10-2016

Antwoord

Beste Maike,

Antwoordenboekjes moet je niet te veel vertrouwen, want er staan regelmatig fouten in. Zo ook hier. Ik leg het uit aan de hand van een voorbeeld.

1)
Stel jij trekt deze drie kaarten uit een kaartspel:

• klaver twee
  
• harten vrouw
  
• ruiten vier

Uit een ander spel trekt jouw vriendin Marie ook drie kaarten:

• ruiten vier
  
• harten vrouw
  
• klaver twee

Ik zou zeggen: jullie hebben hetzelfde setje getrokken. De volgorde is wel anders, maar dat maakt niet uit: we gaan kijken of er plaatjes tussen zitten, daarvoor is de volgorde niet belangrijk.
Wanneer de volgorde niet belangrijk is, dan noemen we zo'n setje een combinatie. Hierboven zie je dus twee keer dezelfde combinatie, het is dus maar één mogelijke uitkomst en niet twee.
Het aantal mogelijke combinaties van 3 kaarten uit 52 berekenen we op de manier zoals ik heb aangegeven: 52 ncr 3 = 22100.

De berekening uit het boek past bij de situatie waarbij de volgorde wel belangrijk is. Dan zouden deze twee setjes wel verschillend zijn. Setjes waarbij de volgorde wel belangrijk is, noemen we permutaties. Maar nergens in de vraag staat dat we met de eerste kaart iets anders doen dan met de tweede of derde. De volgorde maakt niet uit, dus wordt het aantal combinaties gevraagd. Het antwoordenboekje berekent het aantal permutaties.

2)
Bij vraag 2 gaat het 'toevallig' goed: als je geen plaatje hebt, dan maakt het niet uit of je wel of niet op de volgorde van de kaarten let. De kans op deze gebeurtenis (geen plaatje) kan je berekenen door het aantal gunstige permutaties (=permutaties zonder plaatje) te delen door het totaal aantal permutaties, zoals het boek doet:

Aantal gunstige permutaties: 36 x 35 x 34 = 42840
Totaal aantal permutaties: 52 x 51 x 50 = 132600
Kans op een gunstige permutatie: 42840/132600 = 0,323

Je kunt ook het aantal gunstige combinaties (=combinaties zonder plaatje) delen door het totaal aantal combinaties:

Aantal gunstige combinaties: 36 ncr 3 = 7140
Totaal aantal combinaties: 52 ncr 3 = 22100
Kans op een gunstige combinatie: 7140/22100 = 0,323

Omdat we niet op de volgorde letten, vind ik de tweede denkwijze logischer.

3)
Bij vraag 3 gaat het antwoordenboekje volgens mij echt de mist in. Het aantal gunstige mogelijkheden 20160 komt als volgt tot stand (denk ik):

• Tel het aantal mogelijkheden om één plaatje te trekken. Dat is 16.
  
• Tel het aantal mogelijkheden om twee niet-plaatjes te trekken (volgorde wel belangrijk). Dit aantal is 36x35=1260.
  
• Aantal gunstige mogelijkheden met plaatje als eerste kaart: 16x1260=20160.
  
• Plaatje mag ook als 2e of 3e kaart worden getrokken: totaal aantal gunstige mogelijkheden is 3x20160.

Dit aantal gunstige mogelijkheden zou dan gedeeld moeten worden door het totaal aantal mogelijkheden. Volgens het boek was dit 132600, ik heb geen idee waarom gedeeld wordt door 124600. En bij de kans op één plaatje doet de volgorde van kaarten er toch niet toe? Het is een warboel!

Beter is:

• Tel het aantal mogelijkheden om één plaatje te trekken uit 16 plaatjes: 16 ncr 1 = 16 (wisten we natuurlijk van tevoren, je kunt uit 16 kaarten kiezen)
  
• Tel het aantal mogelijkheden om 2 niet-plaatjes uit 36 niet-plaatjes te trekken: 36 ncr 2 = 630
  
• Totaal aantal gunstige combinaties is dan 16x630 = 10080
  
• Totaal aantal mogelijkheden om 3 kaarten te trekken uit 52:
  52 ncr 3 = 22100
  
• Kans op een gunstige combinatie is 10080/22100 = 0,456

Dan nog even dezelfde vragen met terugleggen:

4.1
Ik ga er nu even van uit dat de volgorde wel belangrijk is. Dan zijn er 52x52x52=140608 mogelijkheden om 3 kaarten te trekken. Hierin zitten natuurlijk ook mogelijkheden waarbij dezelfde kaarten in een andere volgorde voorkomen, zoals in mijn voorbeeld hierboven. Het is een heel gedoe om die dubbeltellingen eruit te halen, ik denk niet dat dit de bedoeling is.

4.2

• Totaal aantal mogelijkheden om 3 keer géén plaatje te krijgen: 36x36x36=46656
  
• Totaal aantal mogelijkheden om 3 kaarten te trekken: 140608
  
• Kans op géén plaatje: 46656/140608 = 0,332

4.3

• Tel het aantal mogelijkheden om eerst twee keer géén plaatje te krijgen: 36x36=1296
  
• Tel het aantal manieren om bij de derde kaart wél een plaatje te krijgen: 16
  
• Aantal gunstige mogelijkheden met plaatje als laatste: 1296x16=20736
  
• Plaatje mag ook als eerste of tweede, dus totaal aantal gunstige mogelijkheden is drie keer zo groot: 3x20736=62208
  
• Delen door totaal aantal mogelijkheden:
  Kans op één plaatje: 62208/140608=0,442

Is het hiermee duidelijker?

GHvD
5-10-2016